अनुमेय नियम

This article is about rules of inference in logic systems. For the concept in decision theory, see admissible decision rule.

तर्क में, एक औपचारिक प्रणाली में अनुमान का नियम स्वीकार्य है यदि सिस्टम के मौजूदा नियमों में उस नियम को जोड़ने पर सिस्टम के प्रमेय का सेट नहीं बदलता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सुव्यवस्थित सूत्र जो उस नियम का उपयोग करके औपचारिक प्रमाण हो सकता है, उस नियम के बिना पहले से ही व्युत्पन्न है, इसलिए, एक अर्थ में, यह बेमानी है। एक स्वीकार्य नियम की अवधारणा पॉल लॉरेंज (1955) द्वारा पेश की गई थी।

परिभाषाएँ

प्रस्तावपरक तर्क गैर-शास्त्रीय तर्क में केवल संरचनात्मक (अर्थात् प्रतिस्थापन (तर्क) -बंद) नियमों के मामले में स्वीकार्यता का व्यवस्थित रूप से अध्ययन किया गया है, जिसका वर्णन हम आगे करेंगे।

बुनियादी तार्किक संयोजकों का एक सेट तय होने दें (उदाहरण के लिए, $\{\to ,\land ,\lor ,\bot \}$ सुपरिंट्यूशनिस्टिक लॉजिक्स के मामले में, या $\{\to ,\bot ,\Box \}$ मॉडल तर्क के मामले में)। प्रस्तावित चर p के एक गणनीय सेट सेट से इन संयोजकों का उपयोग करके अच्छी तरह से बनाए गए सूत्र मुक्त रूप से बनाए गए हैं₀, पी₁, .... एक प्रतिस्थापन (तर्क) σ सूत्र से सूत्र तक का एक कार्य है जो संयोजकों के अनुप्रयोगों के साथ संचार करता है, अर्थात,

$\sigma f(A_{1},\dots ,A_{n})=f(\sigma A_{1},\dots ,\sigma A_{n})$

प्रत्येक संयोजक एफ और सूत्र ए के लिए₁, ... , ए_n. (हम सूत्रों के सेट Γ के लिए प्रतिस्थापन भी लागू कर सकते हैं, बना सकते हैं σΓ = {σA: A ∈ Γ}.) एक टार्स्की-शैली का परिणाम संबंध एक रिश्ता है $\vdash$ सूत्रों के सेट और सूत्रों के बीच, जैसे कि

1. $A\vdash A,$
2. if $\Gamma \vdash A$ then $\Gamma ,\Delta \vdash A,$ ("weakening")
3. if $\Gamma \vdash A$ and $\Delta ,A\vdash B$ then $\Gamma ,\Delta \vdash B,$ ("composition")

सभी फ़ार्मुलों A, B और फ़ार्मुलों के सेट Γ, Δ के लिए। एक परिणामी संबंध ऐसा है

4. if $\Gamma \vdash A$ then $\sigma \Gamma \vdash \sigma A$

सभी प्रतिस्थापनों के लिए σ को 'संरचनात्मक' कहा जाता है। (ध्यान दें कि संरचनात्मक शब्द जैसा कि यहां और नीचे प्रयोग किया गया है, क्रमिक कलन में संरचनात्मक नियमों की धारणा से संबंधित नहीं है।) एक संरचनात्मक परिणाम संबंध को 'प्रस्तावात्मक तर्क' कहा जाता है। एक सूत्र A एक तर्क का प्रमेय है $\vdash$ अगर $\varnothing \vdash A$.

उदाहरण के लिए, हम एक सुपरिंट्यूशनिस्टिक लॉजिक एल को उसके मानक परिणाम संबंध के साथ पहचानते हैं $\vdash _{L}$ मूड सेट करना और स्वयंसिद्धों द्वारा उत्पन्न, और हम इसके वैश्विक परिणाम संबंध के साथ एक सामान्य मोडल तर्क की पहचान करते हैं $\vdash _{L}$ मॉडस पोनेंस, आवश्यकता, और (सिद्धांतों के रूप में) तर्क के प्रमेयों द्वारा उत्पन्न।

एक संरचनात्मक निष्कर्ष नियम (या केवल संक्षेप के लिए नियम) एक जोड़ी (Γ, बी) द्वारा दिया जाता है, जिसे आमतौर पर लिखा जाता है

${\frac {A_{1},\dots ,A_{n}}{B}}\qquad {\text{or}}\qquad A_{1},\dots ,A_{n}/B,$

जहां Γ = {ए₁, ... , ए_n} सूत्रों का एक परिमित सेट है, और B एक सूत्र है। नियम का एक 'उदाहरण' है

$\sigma A_{1},\dots ,\sigma A_{n}/\sigma B$

एक प्रतिस्थापन के लिए σ। नियम Γ/B 'व्युत्पन्न' है $\vdash$, अगर $\Gamma \vdash B$. यह स्वीकार्य है अगर नियम के प्रत्येक उदाहरण के लिए, σB एक प्रमेय है जब भी σΓ से सभी सूत्र प्रमेय हैं। दूसरे शब्दों में, एक नियम स्वीकार्य है यदि वह तर्क में जोड़े जाने पर, नए प्रमेयों को जन्म नहीं देता है। हम भी लिखते हैं $\Gamma \mathrel {|\!\!\!\sim } B$ यदि Γ/B स्वीकार्य है। (ध्यान दें कि ${\phantom {.}}\!{|\!\!\!\sim }$ अपने आप में एक संरचनात्मक परिणाम संबंध है।)

प्रत्येक व्युत्पन्न नियम स्वीकार्य है, लेकिन सामान्य तौर पर इसके विपरीत नहीं। एक तर्क संरचनात्मक रूप से पूर्ण है यदि प्रत्येक स्वीकार्य नियम व्युत्पन्न है, अर्थात, ${\vdash }={\,|\!\!\!\sim }$. एक अच्छी तरह से व्यवहार तार्किक संयुग्मन संयोजी (जैसे अधीक्षणवादी या मोडल लॉजिक्स) के साथ तर्कशास्त्र में, एक नियम $A_{1},\dots ,A_{n}/B$ के बराबर है $A_{1}\land \dots \land A_{n}/B$ स्वीकार्यता और व्युत्पन्नता के संबंध में। इसलिए यह केवल एकात्मक संचालन नियम A/B से निपटने के लिए प्रथागत है।

उदाहरण

• शास्त्रीय तर्क (सीपीसी) संरचनात्मक रूप से पूर्ण है। वास्तव में, मान लें कि ए/बी एक गैर-व्युत्पन्न नियम है, और एक असाइनमेंट वी तय करें जैसे वी (ए) = 1, और वी (बी) = 0। एक प्रतिस्थापन σ परिभाषित करें जैसे कि प्रत्येक चर पी के लिए, σp = $\top$ अगर वी (पी) = 1, और σp = $\bot$ अगर v(p) = 0. तो σA एक प्रमेय है, लेकिन σB नहीं है (वास्तव में, ¬σB एक प्रमेय है)। इस प्रकार नियम ए/बी भी स्वीकार्य नहीं है। (वही तर्क किसी भी बहु-मूल्यवान तर्क एल पर लागू होता है जो तार्किक मैट्रिक्स के संबंध में पूरा होता है, जिनके सभी तत्वों का नाम एल की भाषा में होता है।)
• जॉर्ज क्रेज़ेल-हिलेरी पटनम नियम (जिसे रोनाल्ड हैरोप के नियम या आधार नियम की स्वतंत्रता के रूप में भी जाना जाता है)

$({\mathit {KPR}})\qquad {\frac {\neg p\to q\lor r}{(\neg p\to q)\lor (\neg p\to r)}}$

अंतर्ज्ञानवादी तर्क (आईपीसी) में स्वीकार्य है। वास्तव में, यह प्रत्येक अंधज्ञानवादी तर्क में स्वीकार्य है। दूसरी ओर सूत्र है

$(\neg p\to q\lor r)\to ((\neg p\to q)\lor (\neg p\to r))$

एक अंतर्ज्ञानवादी प्रमेय नहीं है; इसलिए केपीआर आईपीसी में व्युत्पन्न नहीं है। विशेष रूप से, IPC संरचनात्मक रूप से पूर्ण नहीं है।

• नियम