समुच्चय फलन

गणित में, विशेष रूप से मान सिद्धांत में, एक सेट फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका फलन का डोमेन कुछ दिए गए सेट के उपसमुच्चय के सेट का वर्ग होता है और जो (सामान्यत:) विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में इसके मान लेता है $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},$ जिसमें वास्तविक संख्याएँ होती हैं $\mathbb {R}$ और $\pm \infty .$ एक सेट फलन का सामान्यत: लक्ष्य होता है, उपसमुच्चय मान (गणित) सेट फलन को मानने के विशिष्ट उदाहरण हैं। इसलिए, शब्द सेट फलन का उपयोग अधिकांशत: मान के गणितीय अर्थ और इसके सामान्य भाषा अर्थ के बीच भ्रम से बचने के लिए किया जाता है।

परिभाषाएँ

यदि ${\mathcal {F}}$ सेट ओवर का वर्ग है $\Omega$ (मतलब है कि ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (\Omega )$ कहाँ $\wp (\Omega )$ पावरसेट को दर्शाता है) फिर एक सेट फलन ${\mathcal {F}}$ का कार्य है $\mu$ एक फलन के डोमेन के साथ ${\mathcal {F}}$ और कोडोमेन $[-\infty ,\infty ]$ या, कभी-कभी, कोडोमेन इसके अतिरिक्त कुछ सदिश समष्टि होता है, जैसा सदिश मानों, जटिल मान और प्रक्षेपण-मान मान के साथ होता है। सेट फलन के डोमेन में कोई संख्या गुण हो सकते हैं; सामान्यत: सामने आने वाली गुण और वर्गों की श्रेणियों को नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध किया गया है।

Families ${\mathcal {F}}$ of sets over $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
[[pi-system|π-system]]	Yes	Yes	No	No	No	No	No	No	No	No
Semiring	Yes	Yes	No	No	No	No	No	No	Yes	Never
[[Semialgebra|Semialgebra (Semifield)]]	Yes	Yes	No	No	No	No	No	No	Yes	Never
[[Monotone class|Monotone class]]	No	No	No	No	No	only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$	No	No	No
[[Dynkin system|𝜆-system (Dynkin System)]]	Yes	No	No	only if $A\subseteq B$	Yes	No	only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint	Yes	Yes	Never
[[Ring of sets|Ring (Order theory)]]	Yes	Yes	Yes	No	No	No	No	No	No	No
[[Ring of sets|Ring (Measure theory)]]	Yes	Yes	Yes	Yes	No	No	No	No	Yes	Never
[[Delta-ring|δ-Ring]]	Yes	Yes	Yes	Yes	No	Yes	No	No	Yes	Never
[[Sigma-ring|𝜎-Ring]]	Yes	Yes	Yes	Yes	No	Yes	Yes	No	Yes	Never
[[Field of sets|Algebra (Field)]]	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	No	No	Yes	Yes	Never
[[σ-algebra|𝜎-Algebra (𝜎-Field)]]	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Never
[[Dual ideal|Dual ideal]]	Yes	Yes	Yes	No	No	No	Yes	Yes	No	No
[[Filter (set theory)|Filter]]	Yes	Yes	Yes	Never	Never	No	Yes	Yes	$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$	Yes
[[Prefilter|Prefilter (Filter base)]]	Yes	No	No	Never	Never	No	No	No	$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$	Yes
[[Filter subbase|Filter subbase]]	No	No	No	Never	Never	No	No	No	$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$