मास्टर समीकरण

For क्वांटम भौतिकी में प्रयुक्त कुशल समीकरण, see लिंडब्लाड समीकरण. For क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में मौलिक और क्वांटम कुशल समीकरण, see बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता. For एल्गोरिथम जटिलता में मास्टर समीकरण का विश्लेषण किया गया, see मास्टर प्रमेय (एल्गोरिदम का विश्लेषण).

भौतिकी, रसायन विज्ञान और संबंधित क्षेत्रों में, कुशल समीकरणों का उपयोग किसी प्रणाली के समय के विकास का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसे किसी भी समय स्थितियों के संभावित संयोजन के रूप में तैयार किया जा सकता है और स्थितियों के बीच स्विचिंग एक संक्रमण दर मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है। समीकरण अंतर समीकरणों का एक सेट है - समय के साथ - उन संभावनाओं का जो प्रणाली में प्रत्येक अलग-अलग स्थितियों में व्याप्त कर लेता है।

नाम 1940 में प्रस्तावित किया गया था।

जब प्रारंभिक प्रक्रियाओं की संभावनाएं ज्ञात होती हैं, तो डब्ल्यू के लिए निरंतरता समीकरण लिख सकते हैं, जिससे अन्य सभी समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं और जिसे हम "मास्टर" समीकरण कहते हैं।

— ब्रह्मांडीय-किरण वर्षा के सिद्धांत में समूरीय मॉडल और उच्चावच की समस्या (1940)

परिचय

एक मास्टर समीकरण प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों का एक घटनात्मक सेट है जो एक निरंतर समय चर t के संबंध में मौलिक यांत्रिकी के असतत सेट में से प्रत्येक पर व्याप्त करने के लिए सामान्यतः समय के विकास की संभावना का वर्णन करता है। मास्टर समीकरण का सबसे परिचित रूप एक मैट्रिक्स रूप होता है:

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {P}},$

जहाँ ${\vec {P}}$ एक कॉलम वेक्टर है, और $\mathbf {A}$ कनेक्शन का मैट्रिक्स है। स्थितियों के बीच संबंध बनाने का तरीका समस्या के आयाम को निर्धारित करता है; यह या तो है

• एक डी-आयामी प्रणाली (जहां डी 1,2,3,...) है, जहां कोई भी क्षेत्र का अपने 2डी निकटतम समीप से जुड़ा हुआ होता है, या
• एक नेटवर्क, जहां स्थिति की प्रत्येक जोड़ी का संयोजन हो सकता है (नेटवर्क के गुणों के आधार पर)।

जब कनेक्शन समय-स्वतंत्र दर स्थिरांक होते हैं, तो मास्टर समीकरण एक गतिज योजना का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रक्रिया मार्कोवियन प्रक्रिया होती है (राज्य i के लिए कोई भी कूदते समय प्रायिकता घनत्व फलन एक घातीय होता है, संयोजन के मान के बराबर दर के साथ)। जब संयोजन वास्तविक समय पर निर्भर करते हैं (अर्थात मैट्रिक्स $\mathbf {A}$ समय पर निर्भर करता है, $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} (t)$ ), प्रक्रिया स्थिर नहीं है और मास्टर समीकरण अध्ययन करते है

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} (t){\vec {P}}.$

जब संयोजन बहु घातांकी, कूदने समय प्रायिकता घनत्व फलन का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो प्रक्रिया सेमी-मार्कोवियन प्रक्रिया होती है, और गति का समीकरण एक पूर्णांक-विभेदक समीकरण होते है जिसे सामान्यीकृत मास्टर समीकरण कहा जाता है:

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\int _{0}^{t}\mathbf {A} (t-\tau ){\vec {P}}(\tau )d\tau .$

गणित का सवाल $\mathbf {A}$ जन्म और मृत्यु का भी प्रतिनिधित्व कर सकता है , जिसका अर्थ है कि संभाव्यता अंतःक्षेपित (जन्म) है या प्रणाली (मृत्यु) से ली गई है, जहां प्रक्रिया संतुलन में नहीं है।

मैट्रिक्स का विस्तृत विवरण और प्रणाली के गुण

मान लेना $\mathbf {A}$ परिवर्तन दर का वर्णन करने वाला मैट्रिक्स हो (जिसे गतिज दर या प्रतिक्रिया दर भी कहा जाता है)। का वर्णन करने वाला मैट्रिक्स बनें। सदैव की तरह, पहला पादांक पंक्ति का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा पादांक कॉलम का। अर्थात्, दूसरे स्रोत पादांक द्वारा और गंतव्य पहले पादांक द्वारा दिया जाता है। यह अपेक्षा के विपरीत होता है, किन्तु यह तकनीकी रूप से सुविधाजनक होता है।

k के लिए, व्यवसाय की संभावना में वृद्धि अन्य सभी स्थितियों से k के योगदान पर निर्भर करती है, और इसके द्वारा दी जाती है:ती

$\sum _{\ell }A_{k\ell }P_{\ell },$

जहाँ $P_{\ell }$ राज्य में प्रणाली होने की संभावना है $\ell$, जबकि मैट्रिक्स (गणित) $\mathbf {A}$ ट्रांज़िशन-रेट कॉन्सटेंट (गणित) के ग्रिड से भरा हुआ है। इसी प्रकार, $P_{k}$ अन्य सभी स्थितियों के कब्जे में योगदान देता है $P_{\ell },$

$\sum _{\ell }A_{\ell k}P_{k},$

संभाव्यता सिद्धांत में, यह विकास को निरंतर-समय की मार्कोव प्रक्रिया के रूप में पहचानता है, जिसमें एकीकृत मास्टर समीकरण चैपमैन-कोलमोगोरोव समीकरण का पालन करता है।

मास्टर समीकरण को सरल बनाया जा सकता है ताकि ℓ = k वाले पद योग में प्रकट न हों। यह गणना की अनुमति देता है भले ही का मुख्य विकर्ण $\mathbf {A}$ परिभाषित नहीं है या एक मनमाना मान निर्दिष्ट किया गया है।

${\frac {dP_{k}}{dt}}=\sum _{\ell }(A_{k\ell }P_{\ell })=\sum _{\ell \neq k}(A_{k\ell }P_{\ell })+A_{kk}P_{k}=\sum _{\ell \neq k}(A_{k\ell }P_{\ell }-A_{\ell k}P_{k}).$

अंतिम समानता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि

$\sum _{\ell ,k}(A_{\ell k}P_{k})={\frac {d}{dt}}\sum _{\ell }(P_{\ell })=0$ क्योंकि संभावनाओं पर योग $P_{\ell }$ पैदावार एक, एक निरंतर कार्य। चूंकि इसे किसी भी संभावना के लिए धारण करना है ${\vec {P}}$ (और विशेष रूप से फॉर्म की किसी भी संभावना के लिए $P_{\ell }=\delta _{\ell k}$ कुछ के लिए) हमें मिलता है

$\underset{}{}$