आंतरिक आयाम

डेटा सेट के आंतरिक आयाम को डेटा के न्यूनतम प्रतिनिधित्व में आवश्यक चर की संख्या के रूप में माना जा सकता है। इसी तरह, बहुआयामी संकेतों के संकेत प्रसंस्करण में, सिग्नल का आंतरिक आयाम बताता है कि सिग्नल के अच्छे सन्निकटन को उत्पन्न करने के लिए कितने चर की आवश्यकता होती है।

आंतरिक आयाम का आकलन करते समय, हालांकि, कई गुना आयाम के आधार पर थोड़ी व्यापक परिभाषा का उपयोग अक्सर किया जाता है, जहां आंतरिक आयाम में एक प्रतिनिधित्व को केवल स्थानीय रूप से मौजूद होने की आवश्यकता होती है। इस तरह के आंतरिक आयाम अनुमान तरीके डेटा सेट के विभिन्न भागों में विभिन्न आंतरिक आयामों के साथ डेटा सेट को संभाल सकते हैं। इसे अक्सर स्थानीय आंतरिक आयाम (एलआईडी) के रूप में जाना जाता है।

आंतरिक आयाम का उपयोग आयाम में कमी के माध्यम से डेटा सेट को संपीड़ित करना संभव है, लेकिन इसका उपयोग डेटा सेट या सिग्नल की जटिलता के माप के रूप में भी किया जा सकता है। एन चर के डेटा सेट या सिग्नल के लिए, इसका आंतरिक आयाम एम 0 ≤ एम ≤ एन को संतुष्ट करता है, हालांकि अनुमानक उच्च मान प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण

${\textstyle f(x_{1},x_{2})}$ एक दो-चर फलन (या संकेत) हो जो इस रूप का हो ${\textstyle f(x_{1},x_{2})=g(x_{1})}$ कुछ एक-चर फलन g के लिए जो एक स्थिर फलन नहीं है। इसका अर्थ है कि f, g के अनुसार, पहले चर के साथ या पहले निर्देशांक (गणित) के साथ भिन्न होता है। दूसरी ओर, f दूसरे चर के संबंध में या दूसरे निर्देशांक के साथ स्थिर होता है। f का मान निर्धारित करने के लिए केवल एक, अर्थात् पहले चर का मान जानना आवश्यक है। इसलिए, यह एक दो चर वाला कार्य है लेकिन इसका आंतरिक आयाम एक है।

थोड़ा और जटिल उदाहरण ${\textstyle f(x_{1},x_{2})=g(x_{1}+x_{2})}$ है। f अभी भी आंतरिक एक-आयामी है, जिसे चरों में परिवर्तन करके देखा जा सकता है ${\textstyle y_{1}=x_{1}+x_{2}}$ और ${\textstyle y_{2}=x_{1}-x_{2}}$ जो देता है${\textstyle f\left({\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {y_{1}-y_{2}}{2}}\right)=g\left(y_{1}\right)}$. चूँकि f में भिन्नता को एकल चर y₁ द्वारा वर्णित किया जा सकता है, इसका आंतरिक आयाम एक है।

इस मामले के लिए कि एफ स्थिर है, इसका आंतरिक आयाम शून्य है क्योंकि भिन्नता का वर्णन करने के लिए किसी चर की आवश्यकता नहीं है। सामान्य स्थिति के लिए, जब दो-चर फ़ंक्शन f का आंतरिक आयाम न तो शून्य या एक होता है, तो यह दो होता है।

गणित सिद्धांत में, फ़ंक्शन जो आंतरिक आयाम शून्य, एक या दो के हैं, उन्हें कभी-कभी क्रमशः i0D, i1D या i2D के रूप में संदर्भित किया जाता है।

संकेतों के लिए औपचारिक परिभाषा

एन-वैरिएबल फ़ंक्शन f के लिए, वेरिएबल्स के सेट को एन-डायमेंशनल वेक्टर x के रूप में दर्शाया जा सकता है: ${\textstyle f=f\left(\mathbf {x} \right){\text{ where }}\mathbf {x} =\left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)}$.

यदि कुछ एम-वैरिएबल फ़ंक्शन जी और एम × एन मैट्रिक्स ए के लिए यह मामला है

• सभी 'एक्स' के लिए; ${\textstyle f(\mathbf {x} )=g(\mathbf {Ax} ),}$
• M सबसे छोटी संख्या है जिसके लिए f और g के बीच उपरोक्त संबंध पाया जा सकता है,

तो f का आंतरिक आयाम M है।

आंतरिक आयाम f का लक्षण वर्णन है, यह न तो g का और न ही A का स्पष्ट लक्षण वर्णन है। अर्थात्, यदि उपरोक्त संबंध कुछ f, g, और 'A' के लिए संतुष्ट है, तो इसे उसी f और g' और 'A द्वारा दिए गए के लिए भी संतुष्ट होना चाहिए ${\textstyle g'\left(\mathbf {y} \right)=g\left(\mathbf {By} \right)}$ और ${\textstyle \mathbf {A'} =\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} }$ जहां बी एक गैर-एकवचन एम × एम मैट्रिक्स है, क्योंकि ${\textstyle f\left(\mathbf {x} \right)=g'\left(\mathbf {A'x} \right)=g\left(\mathbf {BA'x} \right)=g\left(\mathbf {Ax} \right)}$ है।

कम आंतरिक आयाम के संकेतों का फूरियर रूपांतरण

एक एन वेरिएबल फ़ंक्शन जिसमें आंतरिक आयाम एम < एन है, में एक विशेषता फूरियर रूपांतरण है। सहजता से, चूंकि इस प्रकार का फ़ंक्शन एक या कई आयामों के साथ स्थिर होता है, इसलिए इसका फूरियर रूपांतरण आवृत्ति डोमेन में समान आयाम के साथ एक डिराक डेल्टा वितरण (स्थिर का फूरियर रूपांतरण) की तरह दिखाई देना चाहिए।

एक साधारण उदाहरण

मान लीजिए f एक दो-चर फलन है जो कि i1D है। इसका मतलब है कि एक सामान्यीकृत वेक्टर मौजूद है ${\textstyle \mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{2}}$ और एक एक चर फलन जी ऐसा है कि ${\textstyle f(\mathbf {x} )=g(\mathbf {n} ^{\operatorname {T} }\mathbf {x} )}$ सभी के लिए ${\textstyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}}$ है।

यदि F, f का फूरियर रूपांतरण है (दोनों दो-चर फलन हैं) तो ऐसा होना चाहिए ${\textstyle F\left(\mathbf {u} \right)=G\left(\mathbf {n} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} \right)\cdot \delta \left(\mathbf {m} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} \right)}$.

यहाँ G, g का फूरियर रूपांतरण है (दोनों एक-चर फलन हैं), δ डिराक डेल्टा वितरण (इकाई आवेग) और 'm' एक सामान्यीकृत वेक्टर है ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ n के लंबवत। इसका मतलब यह है कि एफ एक रेखा को छोड़कर हर जगह गायब हो जाता है जो आवृत्ति डोमेन की उत्पत्ति के माध्यम से गुजरता है औरऔर m के समानांतर है। इस रेखा के साथ F, G के अनुसार बदलता रहता है।

सामान्य मामला

मान लीजिए f एक N-वैरिएबल फ़ंक्शन है जिसका आंतरिक आयाम M है, अर्थात, एक M-वैरिएबल फ़ंक्शन g और M × N मैट्रिक्स 'A' मौजूद है जैसे कि ${\textstyle f(\mathbf {x} )=g(\mathbf {Ax} )\quad \forall \mathbf {x} }$.

इसके फूरियर रूपांतरण F को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

• आयाम M के उप-स्थान को छोड़कर एफ हर जगह गायब हो जाता है
• उपस्थान M को मैट्रिक्स 'A' की पंक्तियों द्वारा फैलाया गया है
• उप-स्थान में, F G के अनुसार g के फूरियर रूपांतरण के अनुसार भिन्न होता है

सामान्यीकरण

ऊपर वर्णित आंतरिक आयाम का प्रकार यह मानता है कि एन-वैरिएबल फ़ंक्शन एफ के निर्देशांक पर एक रैखिक परिवर्तन लागू किया जाता है ताकि एम चर का उत्पादन किया जा सके जो कि एफ