पैकिंग आयाम

गणित में, पैकिंग आयाम कई अवधारणाओं में से एक है जिसका उपयोग मीट्रिक स्थान के उपसमूहों के आयाम को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। पैकिंग आयाम कुछ अर्थों में हॉसडॉर्फ आयाम के लिए द्वैत (गणित) है, क्योंकि "पैकिंग" आयाम दिए गए उपसमूहों के अंदर छोटी खुली गेंदों द्वारा दिए गए उपसमूहों को कवर करके किया जाता है। पैकिंग आयाम को 1982 में सी ट्रिकॉट जूनियर द्वारा पेश किया गया था।

परिभाषाएँ

मान लीजिए (X, d) एक उपसमुच्चय S ⊆ X के साथ एक मीट्रिक स्थान है और s ≥ 0 एक यथार्थ संख्या है। S के 'आयामी पैकिंग पूर्व-माप' को परिभाषित किया गया है

$P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint closed balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}.$

दुर्भाग्य से, यह केवल एक पूर्व-मापन है और X के उपसमूहों पर सही माप (गणित) नहीं है, जैसा कि गहन श्रेणी, गणनीय श्रेणी उपसमूहों पर विचार करके देखा जा सकता है। यद्यपि, पूर्व-उपाय एक यथार्थ माप की ओर ले जाता है: S' का s'-आयामी पैकिंग माप 'के रूप में परिभाषित किया गया है

$P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\},$

यानी, S का पैकिंग माप, S के गणनीय आवरण के पैकिंग पूर्व-उपायों से कम है।

ऐसा करने के बाद, 'पैकिंग आयाम'_P मंद हो जाता है S के (S) हॉसडॉर्फ आयाम के अनुरूप परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&{}=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}\\&{}=\inf\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\}.\end{aligned}}$

एक उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण सबसे सरल स्थिति है जहां हॉसडॉर्फ और पैकिंग आयाम भिन्न हो सकते हैं।

अनुक्रम नियत करें $(a_{n})$ ऐसा है कि $a_{0}=1$ और $0<a_{n+1}<a_{n}/2$. आगमनात्मक रूप से नेस्टेड अनुक्रम को परिभाषित करें $E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots$ यथार्थ रेखा के सघन उपसमुच्चयों की संख्या इस प्रकार है: मान लीजिए $E_{0}=[0,1]$. के प्रत्येक जुड़े घटक के लिए $E_{n}$ (जो निश्चित रूप से लंबाई का अंतराल होगा $a_{n}$), लंबाई के मध्य अंतराल को हटा दें $a_{n}-2a_{n+1}$, लंबाई के दो अंतराल प्राप्त करना $a_{n+1}$, जिसे जुड़े घटकों के रूप में लिया जाएगा $E_{n+1}$. अगला, परिभाषित करें $K=\bigcap _{n}E_{n}$. तब $K$ स्थैतिक रूप से एक कैंटर श्रेणी है (यानी, एक कॉम्पैक्ट पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया सही स्थान)। उदाहरण के लिए, $K$ सामान्य मध्य-तिहाई कैंटर श्रेणी होगा यदि $a_{n}=3^{-n}$.

यह दिखाना संभव है कि हौसडॉर्फ और श्रेणी के पैकिंग आयाम $K$ क्रमशः दिए गए हैं:

${\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}$