ग्रुपॉयड

This article is about श्रेणी सिद्धांत में समूह. For एकल द्विचर प्रचालन के साथ बीजगणितीय संरचना, see मैग्मा (बीजगणित).

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत और होमोटॉपी सिद्धांत में, एक समूह बद्ध (अक्सर कम ब्रांट समूह बद्ध या आभासी समूह) कई समान तरीकों से समूह की धारणा को सामान्यीकृत करता है। एक ग्रूपोइड को एक के रूप में देखा जा सकता है:

• द्विचर प्रचालन की जगह एक आंशिक फलन वाला समूह,
• 'श्रेणी' जिसमें प्रत्येक आकारिकी व्युत्क्रमणीय होती है। इस प्रकार की एक श्रेणी को आकारिकी पर एक एकल संक्रिया के साथ संवर्धित के रूप में देखा जा सकता है, जिसे समूह सिद्धांत के साथ सादृश्य द्वारा व्युत्क्रम कहा जाता है। एक समूह बद्ध जहां केवल एक वस्तु होती है वह एक सामान्य समूह होता है।

आश्रित प्रकार की उपस्थिति में, सामान्य रूप से एक श्रेणी को वर्गीकृत किए गए एकाभ के रूप में देखा जा सकता है, और इसी तरह, एक समूह बद्ध को केवल वर्गीकृत किए गए समूह के रूप में देखा जा सकता है। आकारिता एक वस्तु से दूसरी वस्तु पर ले जाता है, और प्रकारों के एक आश्रित परिवार का निर्माण करता हैं, इस प्रकार आकारिकी को $g:A\rightarrow B$, $h:B\rightarrow C$, वर्गीकरण किया जा सकता है। संरचना तब कुल फलन है, $\circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C$, ताकि $h\circ g:A\rightarrow C$ ।

विशेष स्थितियों में सम्मिलित हैं,

• सेटोइड्स: समुच्चय जो एक समतुल्य संबंध के साथ आता है,
• जी-समुच्चय, समूह $G$ की क्रिया से सुसज्जित समुच्चय।

समूह बद्ध का उपयोग अक्सर ज्यामितीय वस्तुओं जैसे विविध के बारे में तर्क करने के लिए किया जाता है। हेनरिक ब्रांट (1927) ने ब्रांट अर्धसमूह के माध्यम से समूह बद्ध्स को स्पष्ट रूप से पेश किया।

परिभाषाएँ

समूह बद्ध एक बीजगणितीय संरचना $(G,\ast )$ है जिसमें एक अरिक्त समुच्च्य $G$ और एक द्विआधारी आंशिक फलन '$\ast$' शामिल है जो $G$ पर परिभाषित है।

बीजगणितीय

एक समूह बद्ध एक समुच्चय $G$ है जिसमें एक एकात्मक संक्रिया ${}^{-1}:G\to G,$ के और आंशिक फलन $*:G\times G\rightharpoonup G$ है। यहाँ * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है क्योंकि यह आवश्यक रूप से $G$ के सभी तत्वों के जोड़े के लिए परिभाषित नहीं है। सटीक शर्तें जिसके तहत $*$ परिभाषित किया गया है जो यहां व्यक्त नहीं किया गया है और जो स्थिति के अनुसार भिन्न होता है।

संक्रियाएँ $\ast$ और ⁻¹ में निम्नलिखित स्वयंसिद्ध गुण हैं, सभी के लिए $a$, $b$, और $c$ $G$ में ,

1. साहचर्य, यदि $a*b$ और $b*c$ परिभाषित हैं, तो $(a*b)*c$ और $a*(b*c)$ परिभाषित हैं और बराबर हैं। इसके विपरीत यदि एक $(a*b)*c$ और $a*(b*c)$ परिभाषित है, तब वे दोनों परिभाषित हैं (और वे एक दूसरे के बराबर हैं), और $a*b$ और $b*c$ साथ भी परिभाषित हैं।
2. गुणात्मक प्रतिलोम, $a^{-1}*a$ और $a*{a^{-1}}$ हमेशा परिभाषित होते हैं।
3. पहचान, यदि $a*b$ परिभाषित किया गया है, तो $a*b*{b^{-1}}=a$, और ${a^{-1}}*a*b=b$। (पिछले दो स्वयंसिद्ध पहले से ही दिखाते हैं कि ये भाव परिभाषित और स्पष्ट हैं।)

इन स्वयंसिद्धों से दो आसान और सुविधाजनक गुण निकलते हैं,

• $(a^{-1})^{-1}=a$,
• अगर $a*b$ परिभाषित किया गया है, तो $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$।

श्रेणी सिद्धांत

एक समूह एक छोटी श्रेणी है जिसमें प्रत्येक आकृतिवाद एक समरूपता है, अर्थात, उलटा। अधिक स्पष्ट रूप से, एक समूह G है,

• वस्तुओं का एक सेट G₀
• G₀ में वस्तुओं x और y की प्रत्येक जोड़ी के लिए, x से y तक आकारिता (या तीर) का एक (संभवतः खाली) समुच्चय G(x,y) मौजूद है। हम f : x → y लिखते हैं, यह दर्शाने के लिए कि f, G(x,y) का एक अवयव है।
• प्रत्येक वस्तु x के लिए, G(x,x) का एक निर्दिष्ट तत्व $\mathrm {id} _{x}$,
• वस्तुओं x, y, और z के प्रत्येक त्रिगुण के लिए, एक फलन ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}}_{x,y,z}:G(y,z)\times <!--\; \times \; -->G(x,y)\to <!--\; \to \; -->G($