कॉमा श्रेणी

गणित में एक कॉमा श्रेणी (एक विशेष स्थिति एक स्लाइस श्रेणी है) श्रेणी सिद्धांत में एक निर्माण है। यह मॉरफिज्म को देखने का एक अन्य उपाय प्रदान करता है। केवल एक वर्ग की वस्तुओं को एक दूसरे से संबंधित करने के अतिरिक्त मॉरफिज्म स्वयं में वस्तु का निर्माण करते हैं। यह धारणा 1963 में विलियम लॉवरे एफ डब्ल्यू लॉवरे (लॉवरे, 1963 पृष्ठ 36) द्वारा प्रस्तुत की गई थी। चूंकि विधि [उद्धरण वांछित] सामान्यतः कई वर्षों बाद तक ज्ञात नहीं हुई। कई गणितीय अवधारणाओं को कॉमा श्रेणियों के रूप में माना जा सकता है। कॉमा श्रेणियां कुछ सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और कोलिमिट के अस्तित्व का आश्वासन भी प्रदान करती हैं। इसका नाम मुख्य रूप से लॉवरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले नोटेशन से उत्पन्न होता है। जिसमें कॉमा विराम चिह्न सम्मिलित होता था। तथापि मानक अंकन बदल गया हो, परन्तु इसका नाम बना रहता है क्योंकि एक ऑपरेटर के रूप में कॉमा का उपयोग संभावित रूप से भ्रमित करने वाला होता है और यहां तक ​​कि लॉवरे भी गैर-सूचनात्मक शब्द कॉमा श्रेणी को पसंद नहीं करते हैं (लॉवरे, 1963 पृष्ठ 13)।

परिभाषा

सबसे सामान्य कॉमा श्रेणी के निर्माण में एक ही कोडोमेन वाले दो ऑपरेटर सम्मिलित होते हैं। अधिकांशतः इनमें से एक में डोमेन 1 (एक-वस्तु वन-मॉर्फिज़्म श्रेणी) होगा। श्रेणी सिद्धांत के कुछ अकाउंट केवल इन विशेष स्थितियों पर विचार करते हैं। किंतु कॉमा श्रेणी शब्द वस्तुतः में बहुत अधिक सामान्य होते हैं।

सामान्य रूप

माना कि ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$ और ${\mathcal {C}}$ श्रेणियां हैं और $S$ तथा $T$ (स्रोत और लक्ष्य के लिए) कारक हैं:

${\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;S\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;T\;\;} {\mathcal {B}}$

हम निम्नानुसार कॉमा श्रेणी $(S\downarrow T)$ बना सकते हैं:

• वस्तु सभी त्रिगुणमय $(A,B,h)$ हैं। जिसमें $A$ एक वस्तु ${\mathcal {A}}$ में है, $B$ एक वस्तु ${\mathcal {B}}$ में है और $h:S(A)\rightarrow T(B)$ मॉरफिज्म ${\mathcal {C}}$ में उपस्थित है।
• $(A,B,h)$ से $(A',B',h')$ तक मॉरफिज्म सभी जोड़े $(f,g)$ हैं। जहाँ $f:A\rightarrow A'$ और $g:B\rightarrow B'$ क्रमशः ${\mathcal {A}}$ और ${\mathcal {B}}$ में मॉरफिज्म हैं। जैसे कि निम्न आरेख कम्यूट करता है:

कोमा आरेख

जब भी बाद वाला व्यंजक परिभाषित होता है। मॉरफिज्म की रचना$(f',g')\circ (f,g)$ को $(f'\circ f,g'\circ g)$ लेकर की जा सकती है। किसी वस्तु $(A,B,h)$ पर आईडेन्टिटी आकृतिवाद $(\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})$ है।

स्लाइस श्रेणी

Main article: अतिश्रेणी

पहली विशेष स्थिति तब होता है। जब ${\mathcal {C}}={\mathcal {A}}$ फ़ंक्टर $S$ आईडेन्टिटी कारक है और ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ (एक वस्तु $*$ और एक मॉरफिज्म वाली श्रेणी)। फिर $T(*)=A_{*}$ किसी वस्तु $A_{*}$ के लिए ${\mathcal {A}}$ में उपस्थित होता है ।

${\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {A}}\;\;} {\mathcal {A}}\xleftarrow {\;\;A_{*}\;\;} {\textbf {1}}$

इस स्थिति में कॉमा श्रेणी को $({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})$ लिखा जाता है और इसे अधिकांशतः$A_{*}$ पर स्लाइस श्रेणी या $A_{*}$ पर वस्तुओं की श्रेणी कहा जाता है। वस्तुएं $(A,*,h)$ को जोड़े$(A,h)$ में सरल रूप का निर्माण किया जा सकता है। जहाँ $h:A\rightarrow A_{*}$ कभी-कभी $h$ को $\pi _{A}$ से प्रदर्शित किया जाता है। एक मॉरफिज्म $(f,\mathrm {id} _{*})$$(A,\pi _{A})$ से $(A',\pi _{A'})$ को स्लाइस श्रेणी में तब एक एरो $f:$