सार सरल जटिल

एक 3-आयामी सार सरल परिसर का ज्यामितीय अहसास

साहचर्य में, एब्स्ट्रैक्ट सरल जटिल (एएससी), जिसे अक्सर एब्स्ट्रैक्ट कॉम्प्लेक्स या सिर्फ कॉम्प्लेक्स कहा जाता है, सेट का परिवार है जो सबसेट लेने के तहत बंद होता है, यानी परिवार में सेट का हर सबसेट भी परिवार में होता है। यह साधारण जटिल की ज्यामितीय धारणा का विशुद्ध रूप से मिश्रित विवरण है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी साधारण परिसर में, परिवार में सेट त्रिकोण (आकार 3 के सेट), उनके किनारे (आकार 2 के सेट), और उनके शिखर (आकार 1 के सेट) हैं।

matroid और लालचोइड्स के संदर्भ में, अमूर्त साधारण परिसरों को स्वतंत्रता प्रणाली भी कहा जाता है। \

स्टैनली-रीस्नर रिंग बनाकर अमूर्त सिम्प्लेक्स का बीजगणितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है; यह कॉम्बिनेटरिक्स और कम्यूटेटिव बीजगणित के बीच शक्तिशाली संबंध स्थापित करता है।

परिभाषाएँ

संग्रह {{math|Δ}एक सेट (गणित) एस के गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय के } को सेट-फ़ैमिली कहा जाता है।

एक सेट-परिवार Δ को प्रत्येक सेट के लिए सार सरल परिसर कहा जाता है X में Δ, और हर गैर-खाली सबसेट Y ⊆ X, सेट Y का भी है Δ.

परिमित सेट जो संबंधित हैं Δ परिसर के चेहरे और चेहरे कहलाते हैं Y दूसरे चेहरे से संबंधित कहा जाता है X अगर Y ⊆ X, इसलिए अमूर्त साधारण परिसर की परिभाषा को यह कहते हुए पुन: स्थापित किया जा सकता है कि जटिल के चेहरे का हर चेहरा Δ स्वयं का चेहरा है Δ. का शीर्ष सेट Δ परिभाषित किया जाता है V(Δ) = ∪Δ, के सभी चेहरों का मिलन Δ. वर्टेक्स सेट के तत्वों को कॉम्प्लेक्स के वर्टिकल कहा जाता है। के प्रत्येक शीर्ष v के लिए Δ, सेट {v} कॉम्प्लेक्स का चेहरा है, और कॉम्प्लेक्स का हर चेहरा वर्टेक्स सेट का परिमित उपसमुच्चय है।

के अधिकतम चेहरे Δ (अर्थात्, वे फलक जो किसी अन्य फलक के उपसमुच्चय नहीं हैं) सम्मिश्र के पहलू कहलाते हैं। चेहरे का आयाम X में Δ परिभाषित किया जाता है dim(X) = |X| − 1: एकल तत्व वाले चेहरे शून्य-आयामी होते हैं, दो तत्वों वाले चेहरे एक-आयामी होते हैं, आदि। परिसर का आयाम dim(Δ) को इसके किसी भी फलक के सबसे बड़े आयाम या अनंतता के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि चेहरों के आयाम पर कोई परिमित सीमा नहीं है।

द कॉम्प्लेक्स Δ को परिमित कहा जाता है यदि इसके बहुत से फलक हैं, या समतुल्य हैं यदि इसका शीर्ष समुच्चय परिमित है। भी, Δ को शुद्ध कहा जाता है यदि यह परिमित-आयामी है (लेकिन आवश्यक रूप से परिमित नहीं है) और प्रत्येक पहलू का ही आयाम है। दूसरे शब्दों में, Δ शुद्ध है अगर dim(Δ) परिमित है और प्रत्येक चेहरा आयाम के पहलू में समाहित है dim(Δ).

एक-आयामी सार सरल कॉम्प्लेक्स गणितीय रूप से सरल ग्राफ़ अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के समतुल्य हैं: कॉम्प्लेक्स के वर्टेक्स सेट को ग्राफ़ के वर्टेक्स सेट के रूप में देखा जा सकता है, और कॉम्प्लेक्स के दो-तत्व पहलू ग्राफ़ के अप्रत्यक्ष किनारों के अनुरूप होते हैं। इस दृष्टि से, जटिल के एक-तत्व पहलू अलग-अलग शीर्षों के अनुरूप होते हैं जिनमें कोई घटना किनारे नहीं होते हैं।

का उपसमुच्चय Δ सार सरल जटिल एल है जैसे कि एल का हर चेहरा संबंधित है Δ; वह है, L ⊆ Δ और L सार सरल जटिल है। उपसमुच्चय जिसमें ही फलक के सभी उपसमुच्चय होते हैं Δ को अक्सर का सिंप्लेक्स कहा जाता है Δ. (हालांकि, कुछ लेखक चेहरे के लिए सिम्पलेक्स शब्द का प्रयोग करते हैं, बल्कि अस्पष्ट रूप से, चेहरे और चेहरे से जुड़े उपसमुच्चय दोनों के लिए, गैर-अमूर्त (ज्यामितीय) सरलीकृत जटिल शब्दावली के अनुरूप होते हैं। अस्पष्टता से बचने के लिए, हम नहीं करते हैं। इस आलेख में अमूर्त परिसरों के संदर्भ में चेहरे के लिए सिम्पलेक्स शब्द का उपयोग करें)।

डी-कंकाल|डी-कंकाल का Δ का उपसमूह है Δ के सभी चेहरों से मिलकर Δ जिसका अधिकतम आयाम है d. विशेष रूप से, कंकाल (टोपोलॉजी)|1-कंकाल का 'अंतर्निहित ग्राफ' कहा जाता है Δ. का 0-कंकाल Δ को इसके वर्टेक्स सेट से पहचाना जा सकता है, हालाँकि औपचारिक रूप से यह ही चीज़ नहीं है (वर्टेक्स सेट सभी वर्टिकल का सेट है, जबकि 0-कंकाल सिंगल-एलिमेंट सेट का परिवार है)।

एक चेहरे का लिंक Y में Δ, अक्सर निरूपित Δ/Y या lk_Δ(Y), का उपसमुच्चय है Δ द्वारा परिभाषित

$\Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothing ,\,X\cup Y\in \Delta \}.$

ध्यान दें कि खाली सेट का लिंक है Δ अपने आप।

साधारण नक्शे

Main article: Simplicial map

दो सार सरल परिसरों को देखते हुए, Δ और Γ, साधारण नक्शा फ़ंक्शन (गणित) है  f  जो के शिखर को मैप करता है Δ के शिखर तक Γ और उसमें वह गुण है जो किसी भी चेहरे के लिए है X का Δ, छवि (गणित)  f (X) का चेहरा है Γ. श्रेणी (गणित) एससीपीएक्स है जिसमें वस्तुओं के रूप में सार सरल परिसरों और आकारिकी के रूप में सरल मानचित्र हैं। यह गैर-अमूर्त साधारण परिसरों का उपयोग करके परिभाषित उपयुक्त श्रेणी के बराबर है।

इसके अलावा, देखने का स्पष्ट बिंदु हमें सार सरल परिसर के अंतर्निहित सेट 'एस' के बीच संबंध को मजबूत करने की अनुमति देता है Δ और वर्टेक्स सेट V(Δ) ⊆ S का Δ: सार सरल परिसरों की श्रेणी को परिभाषित करने के प्रयोजनों के लिए, एस के तत्व झूठ नहीं बोल रहे हैं V(Δ) अप्रासंगिक हैं। अधिक सटीक रूप से, एससीपीएक्स उस श्रेणी के बराबर है जहां:

• एक वस्तु सेट 'S' है जो गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय के संग्रह से सुसज्जित है Δ जिसमें सभी सिंगलटन शामिल हैं और ऐसा है कि यदि X में है Δ और Y ⊆ X तब खाली नहीं है Y का भी है Δ.
• से रूपवाद (S, Δ) को (T, Γ) कार्य है f : S → T जैसे कि किसी भी तत्व की छवि Δ का तत्व है Γ.

ज्यामितीय बोध

हम किसी भी एब्सट्रैक्ट सिंपल कॉम्प्लेक्स (ASC) K को टोपोलॉजिकल स्पेस से जोड़ सकते हैं $|K|$, इसका ज्यामितीय अहसास कहा जाता है। परिभाषित करने के कई तरीके हैं $|K|$.

ज्यामितीय परिभाषा

प्रत्येक ज्यामितीय साधारण परिसर (जीएससी) एएससी निर्धारित करता है: ASC के शीर्ष GSC के शीर्ष हैं, और ASC के फलक GSC के फलकों के शीर्ष-समूह हैं। उदाहरण के लिए, 4 कोने {1,2,3,4} के साथ जीएससी पर विचार करें, जहां अधिकतम चेहरे {1,2,3} के बीच त्रिकोण और {2,4} और {3,4} के बीच की रेखाएं हैं। फिर, संबंधित एएससी में सेट {1,2,3}, {2,4}, {3,4}, और उनके सभी सबसेट शामिल हैं। हम कहते हैं कि जीएससी एएससी की ज्यामितीय प्राप्ति है।

प्रत्येक ASC का ज्यामितीय अहसास होता है। परिमित ASC के लिए यह देखना आसान है। होने देना $N:=|V(K)|$. में शीर्षों को पहचानें $V(K)$ (N-1)-आयामी सिम्प्लेक्स के शीर्षों के साथ $\mathbb {R} ^{N}$. GSC {conv(F): F, K में चेहरा है} की रचना करें। स्पष्ट रूप से, इस GSC से जुड़ा ASC K के समान है, इसलिए हमने वास्तव में K की ज्यामितीय प्राप्ति का निर्माण किया है। वास्तव में, ASC को बहुत कम आयामों का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है। यदि एएससी डी-आयामी है (यानी, इसमें सिंप्लेक्स की अधिकतम कार्डिनैलिटी डी + 1 है), तो इसमें ज्यामितीय अहसास है $\mathbb {R} ^{2d+1}$, लेकिन इसमें ज्यामितीय अहसास नहीं हो सकता है $\mathbb {R} ^{2d}$ विशेष मामला d=1 सुप्रसिद्ध तथ्य से मेल खाता है, कि किसी भी ग्राफ (असतत गणित) को इसमें प्लॉट किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{3}$ जहाँ किनारे सीधी रेखाएँ हैं जो सामान्य शीर्षों को छोड़कर एक-दूसरे को नहीं काटती हैं, लेकिन किसी भी ग्राफ़ (असतत गणित) में प्लॉट नहीं किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{2}$ इस प्रकार से।

यदि K मानक कॉम्बीनेटरियल n-सिम्प्लेक्स है, तो $|K|$ से स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है Δⁿ.

एक ही एएससी के हर दो ज्यामितीय अहसास, यहां तक ​​कि विभिन्न आयामों के यूक्लिडियन स्थानों में भी, होमोमोर्फिज्म हैं। इसलिए, एएससी के दिए जाने पर, कोई के के ज्यामितीय प्राप्ति के बारे में बात कर सकता है।

सामयिक परिभाषा

निर्माण निम्नानुसार होता है। सबसे पहले, परिभाषित करें $|K|$ के उपसमुच्चय के रूप में $[0,1]^{S}$ कार्यों से मिलकर $t\colon S\to [0,1]$ दो शर्तों को पूरा करना:

$\{s\in S:t_{s}>0\}\in K$

$\underset{s\in <!--\; \in \; -->S}{\sum <!--\; \sum \; -->}{t}_s=$