शिफ्ट प्रमेय

गणित में, घातांकी बदलाव प्रमेय बहुपद अवकल ऑपरेटरों (डी-संचालकों) और चरघातांकी फलन के बारे में एक प्रमेय के रूप में है। और इस प्रकार यह कुछ स्थितियों में डी-ऑपरेटरों के अनुसार घातांक प्रकार्य को खत्म करने की अनुमति देता है।

कथन

प्रमेय कहता है कि, यदि P(D) एक बहुपद D-संचालक है, तो, किसी भी पर्याप्त रूप से भिन्न फलन y के लिए,

$P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.$

परिणाम सिद्ध करने के लिए, गणितीय आगमन द्वारा आगे बढ़ें। ध्यान दें कि मात्र विशेष स्थिति

$P(D)=D^{n}$

सिद्ध करने की जरूरत है, क्योंकि सामान्य परिणाम डी-ऑपरेटरों के भेदभाव की रैखिकता के बाद होता है।

परिणाम n = 1 के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है

$D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.$

अब मान लीजिए कि परिणाम n = k के लिए सही है, अर्थात,

$D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.$

तब,

$\begin{array}{rl}{D}^{k+1}(e^{ax}y)& \equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{d}{dx}\left\{e^{ax}{\left(D+a\right)}^{k}y\right\}\\ & =e^{ax}\frac{d}{dx}\left\{{\left(D+a\right)}^{k}y\right\}+a{e}^{ax}\left\{{\left(D+a\right)}^{k}y\right\}\\ & =e^{ax}\left\{\left(\frac{d}{dx}+a\right){\left(D+a\right)}^{k}y\right\}\\ & =e^a\end{array}$