शिफ्ट प्रमेय

गणित में, (एक्सपोनेंशियल) शिफ्ट प्रमेय बहुपद अवकल संचालकों (डी-संचालकों) और घातीय कार्यों के बारे में एक प्रमेय है। यह कुछ मामलों में 'डी'-ऑपरेटर्स के तहत घातांक प्रकार्य खत्म करने की अनुमति देता है।

कथन

प्रमेय कहता है कि, यदि P(D) एक बहुपद D-संचालक है, तो, किसी भी पर्याप्त रूप से भिन्न फलन y के लिए,

$P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.$

परिणाम सिद्ध करने के लिए, गणितीय आगमन द्वारा आगे बढ़ें। ध्यान दें कि केवल विशेष मामला

$P(D)=D^{n}$

साबित करने की जरूरत है, क्योंकि सामान्य परिणाम डी-ऑपरेटरों के भेदभाव की रैखिकता के बाद होता है।

परिणाम n = 1 के लिए स्पष्ट रूप से सत्य है

$D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.$

अब मान लीजिए कि परिणाम n = k के लिए सही है, अर्थात,

$D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.$

तब,

${\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\left\{e^{ax}\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}$

यह प्रमाण को पूरा करता है।

शिफ्ट प्रमेय को व्युत्क्रम संचालकों के लिए समान रूप से अच्छी तरह से लागू किया जा सकता है:

${\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.$

संबंधित

लाप्लास परिवर्तन के लिए शिफ्ट प्रमेय का एक समान संस्करण है ($t<a$):

$e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t-a)\}.$

उदाहरण

एक्सपोनेंशियल शिफ्ट प्रमेय का उपयोग फ़ंक्शन के उच्च ड�