न्यूनतम चरण

नियंत्रण सिद्धांत और संकेत प्रसंस्करण में, एक रेखीय, समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को न्यूनतम-चरण कहा जाता है यदि प्रणाली और इसका प्रतिलोम कारणात्मक और स्थिर हैं।

सबसे सामान्य कारण एलटीआई स्थानांतरण फलन को विशिष्ट रूप से ऑल-पास और न्यूनतम-चरण प्रणाली की एक श्रृंखला में शामिल किया जा सकता है। प्रणाली फलन तब दो भागों का उत्पाद है, और समय डोमेन में, प्रणाली की प्रतिक्रिया दो-भाग की प्रतिक्रियाओं का दृढ़ संकल्प है। एक न्यूनतम चरण और एक सामान्य हस्तांतरण समारोह के बीच का अंतर यह है कि एक न्यूनतम चरण प्रणाली में एस-प्लेन प्रतिनिधित्व के बाएं आधे हिस्से में इसके स्थानांतरण समारोह के सभी ध्रुव और शून्य होते हैं। (असतत समय में, जेड-प्लेन के यूनिट वृत्त के अंदर क्रमशः)। चूंकि प्रणाली फलन को उलटने से पोल शून्य में बदल जाते हैं और इसके विपरीत, और दाहिनी ओर (एस-प्लेन काल्पनिक रेखा) या कॉम्प्लेक्स प्लेन के बाहर (जेड-प्लेन यूनिट वृत्त) के पोल अस्थिर प्रणाली की ओर ले जाते हैं, केवल का वर्ग न्यूनतम चरण प्रणाली उलटा के तहत बंद है। सहजता से, एक सामान्य कारण प्रणाली का न्यूनतम चरण भाग न्यूनतम समूह विलंब के साथ अपनी आयाम प्रतिक्रिया को लागू करता है, जबकि इसके सभी-पास भाग मूल प्रणाली फलन के अनुरूप होने के लिए अकेले अपने चरण प्रतिक्रिया को सही करता है।

ध्रुवों और शून्यों के संदर्भ में विश्लेषण केवल अंतरण फलनों के मामले में सटीक है जिसे बहुपदों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। निरंतर समय के मामले में, ऐसी प्रणालियाँ पारंपरिक, आदर्शीकृत एलसीआर नेटवर्क के नेटवर्क में परिवर्तित हो जाती हैं। असतत समय में, वे इसके अलावा, गुणन और इकाई विलंब का उपयोग करके आसानी से अनुमानों में अनुवाद करते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि दोनों ही मामलों में, बढ़ते क्रम के साथ तर्कसंगत रूप के प्रणाली कार्य का उपयोग किसी अन्य प्रणाली कार्य को कुशलतापूर्वक अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है; इस प्रकार यहां तक ​​कि प्रणाली कार्य में एक तर्कसंगत रूप की कमी है, और इसलिए ध्रुवों और/या शून्यों की अनंतता को व्यवहार में किसी भी अन्य के रूप में कुशलता से कार्यान्वित किया जा सकता है।

कार्य-कारण, स्थिर प्रणालियों के संदर्भ में, हम सैद्धांतिक रूप से यह चुनने के लिए स्वतंत्र होंगे कि क्या सिस्टम फ़ंक्शन के शून्य स्थिर सीमा के बाहर हैं (दाईं ओर या बाहर) यदि बंद करने की स्थिति कोई समस्या नहीं थी। हालाँकि, व्युत्क्रमण का बड़ा व्यावहारिक महत्व है, ठीक वैसे ही जैसे सैद्धांतिक रूप से पूर्ण गुणनखंड अपने आप में होते हैं। (सीएफ एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण के रूप में वर्णक्रमीय सममित / एंटीसिमेट्रिक अपघटन, उदाहरण के लिए हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म तकनीक।) कई भौतिक प्रणालियाँ भी स्वाभाविक रूप से न्यूनतम चरण प्रतिक्रिया की ओर प्रवृत्त होती हैं और कभी-कभी उसी बाधा का पालन करने वाली अन्य भौतिक प्रणालियों का उपयोग करके व्युत्क्रमण किया जाना है।

अंतर्दृष्टि नीचे दी गई है कि इस प्रणाली को न्यूनतम चरण क्यों कहा जाता है, और मूल विचार तब भी क्यों लागू होता है जब सिस्टम फ़ंक्शन को एक तर्कसंगत रूप में नहीं डाला जा सकता है जिसे कार्यान्वित किया जा सकता है।

व्युत्क्रम प्रणाली

एक प्रणाली $\mathbb {H}$ व्युत्क्रम है अगर हम इसके आउटपुट से इसके इनपुट को विशिष्ट रूप से निर्धारित कर सकते हैं। यानी, हम $\mathbb {H} _{\text{inv}}$एक प्रणाली पा सकते हैं ऐसे कि अगर हम आवेदन करते हैं $\mathbb {H}$ के बाद $\mathbb {H} _{\text{inv}}$, हम $\mathbb {I}$ पहचान प्रणाली प्राप्त करते हैं (परिमित-आयामी एनालॉग के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स देखें)। अर्थात्,

$$\mathbb {H} _{\text{inv}}\,\mathbb {H} =\mathbb {I}$$

लगता है कि ${\tilde {x}}$ प्रणाली का इनपुट $\mathbb {H}$ है और आउटपुट ${\tilde {y}}$ देता है .

$$\mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}$$

व्युत्क्रम प्रणाली लागू करना $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ को ${\tilde {y}}$ निम्नलिखित देता है

$$\mathbb {H} _{\text{inv}}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}$$

तो हम देखते हैं कि व्युत्क्रम प्रणाली $\mathbb {H} _{inv}$ हमें आउटपुट ${\tilde {y}}$ से विशिष्ट रूप से इनपुट ${\tilde {x}}$ निर्धारित करने की अनुमति देती है

असतत समय उदाहरण

मान लीजिए कि सिस्टम $\mathbb {H}$ एक असतत-समय, रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली है जो Z में n के लिए आवेग प्रतिक्रिया $h(n)$ द्वारा वर्णित है। इसके अतिरिक्त, मान लें कि $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ में एक आवेग प्रतिक्रिया $h_{\text{inv}}(n)$ है। दो एलटीआई सिस्टम का कैस्केड एक कुण्डलीकरण है। इस स्थिति में, उपरोक्त संबंध निम्नलिखित है:

$$(h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{\text{inv}}(n-k)=\delta (n)$$

जहां $\delta (n)$ क्रोनकर डेल्टा या असतत समय के मामले में पहचान प्रणाली है। (कनवल्शन ऑपरेशन की क्रमविनिमेयता के कारण $h_{\text{inv}}$और $h$ के क्रम को बदलने की अनुमति है।) ध्यान दें कि यह उलटा सिस्टम $\mathbb {H} _{\text{inv}}$अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है।

न्यूनतम चरण प्रणाली

जब हम कार्य-कारण और स्थिरता की बाधाओं को लागू करते हैं, तो व्युत्क्रम प्रणाली अद्वितीय होता है; और प्रणाली $\mathbb {H}$ और इसके व्युत्क्रम $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ को न्यूनतम चरण कहा जाता है। असतत-समय के मामले में कार्य-कारण और स्थिरता की कमी निम्नलिखित है (समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए जहां h प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया है):

कारणता

$$h(n)=0\,\,\forall \,n<0$$

और

$$h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0$$

स्थिरता

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty$$

और

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\inf$$