उप-विषमता

गणित में, सबअडिटिटिविटी एक फ़ंक्शन की एक संपत्ति है जो बताती है, मोटे तौर पर, फ़ंक्शन के डोमेन के दो तत्वों (सेट) के योग के लिए फ़ंक्शन का मूल्यांकन करना हमेशा प्रत्येक पर फ़ंक्शन के मानों के योग से कुछ कम या बराबर देता है। तत्व। गणित के विभिन्न क्षेत्रों, विशेष रूप से मानदंड (गणित) और वर्गमूल में उप-योगात्मक कार्यों के कई उदाहरण हैं। योगात्मक नक्शे उप-योगात्मक कार्यों के विशेष मामले हैं।

परिभाषाएँ

एक उप-योगात्मक कार्य एक कार्य है (गणित) $f\colon A\to B$, एक फ़ंक्शन ए का एक डोमेन और एक आंशिक ऑर्डर कोडोमेन बी जो कि निम्नलिखित संपत्ति के साथ, दोनों बंद (गणित) हैं:

$$\forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).$$

एक उदाहरण वर्गमूल फलन है, जिसमें डोमेन और कोडोमेन के रूप में गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, तब से $\forall x,y\geq 0$ अपने पास:

$${\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.$$

एक क्रम $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$, को सबएडिटिव कहा जाता है यदि यह असमानता (गणित) को संतुष्ट करता है

$$a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$$

सभी एम और एन के लिए। यह सबएडिटिव फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है, यदि अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या किया जाता है।

ध्यान दें कि जबकि एक अवतल अनुक्रम उप-योगात्मक है, बातचीत गलत है। उदाहरण के लिए, बेतरतीब ढंग से असाइन करें $a_{1},a_{2},...$ मूल्यों के साथ $0.5,1$, तो अनुक्रम अवतल है लेकिन अवतल नहीं है।

गुण

अनुक्रम

सबएडिटिव अनुक्रमों से संबंधित एक उपयोगी परिणाम माइकल ब्लैक के कारण निम्नलिखित लेम्मा (गणित) है।

Fekete's Subadditive Lemma — For every subadditive sequence ${\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$, the limit $\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$ exists and is equal to the infimum $\inf {\frac {a_{n}}{n}}$. (The limit may be $-\infty$.)

Proof

Let $s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}$.

By definition, $\liminf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\geq s^{*}$. So it suffices to show $\limsup _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\leq s^{*}$.

If not, then there exists sequence $(a_{n_{k}})_{k}$ and $\epsilon >0$ such that ${\frac {a_{n_{k}}}{n_{k}}}>s^{*}+\epsilon$ for all $k$. Take $a_{m}$ such that ${\frac {a_{m}}{m}}<s^{*}+\epsilon /2$.

By infinitary pigeonhole principle, we get a subsequence $(a_{n_{k}})_{k}$, whose indices all belong to the same residue class modulo $m$, and so they advance by multiples of $m$. This sequence, continued for long enough, would be forced by subadditivity to dip below the $s^{*}+\epsilon$ slope line, a contradiction.

फेकेट के लेम्मा का एनालॉग सुपरएडिटिव सीक्वेंस के लिए भी है, वह है: $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ (सीमा तब सकारात्मक अनंत हो सकती है: अनुक्रम पर विचार करें $a_{n}=\log n!$.)

फेकेट के लेम्मा के विस्तार हैं जिन्हें असमानता की आवश्यकता नहीं है $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ सभी m और n के लिए धारण करना, लेकिन केवल m और n के लिए ऐसा कि ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$

Proof

Continue the proof as before, until we have just used the infinite pigeonhole principle.

Consider the sequence $a_{m},a_{2m},a_{3m},...$. Since $2m/m=2$, we have $a_{2m}\leq 2a_{m}$. Similarly, we have $a_{3m}\leq a_{2m}+a_{m}\leq 3a_{m}$, etc.

By the assumption, for any $s,t\in \mathbb {N}$, we can use subadditivity on them if

$$\ln(s+t)\in [\ln(1.5s),\ln(3s)]=\ln s+[\ln 1.5,\ln 3]$$

If we were dealing with continuous variables, then we can use subadditivity to go from $a_{n_{k}}$ to $a_{n_{k}}+[\ln 1.5,\ln 3]$, then to $a_{n_{k}}+\ln 1.5+[\ln 1.5,\ln 3]$, and so on, which covers the entire interval $a_{n_{k}}+[\ln 1.5,+\infty )$.

Though we don't have continuous variables, we can still cover enough integers to complete the proof. Let $n_{k}$ be large enough, such that

$$\ln(2)>\ln(1.5)+\ln \left({\frac {1.5n_{k}+m}{1.5n_{k}}}\right)$$

then let $n'$ be the smallest number in the intersection $(n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)])$. By the assumption on $n_{k}$, it's easy to see (draw a picture) that the intervals $\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)]$ and $\ln n'+[\ln(1.5),\ln(3)]$ touch in the middle. Thus, by repeating this process, we cover the entirety of $(n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\infty ])$.

With that, all $a_{n_{k}},a_{n_{k+1}},...$ are forced down as in the previous proof.

इसके अलावा, स्थिति $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ इस प्रकार कमजोर हो सकता है: $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)$ उसे उपलब्ध कराया $\phi$ एक बढ़ता हुआ कार्य है जैसे कि अभिन्न ${\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$ अभिसरण (अनंत के पास)। ऐसे परिणाम भी हैं जो अभिसरण की दर को उस सीमा तक कम करने की अनुमति देते हैं जिसका अस्तित्व फेकेट के लेम्मा में बताया गया है यदि किसी प्रकार की additive और सबडैडिटिविटी दोनों मौजूद हैं। इसके अलावा, फेकेटे के लेम्मा के अनुरूप उप-जोड़ वाले वास्तविक मानचित्रों (अतिरिक्त धारणाओं के साथ) के लिए एक सहायक समूह के परिमित सबसेट से साबित हुए हैं। , और आगे, एक रद्द करने योग्य वाम-सहायक अर्धसमूह का।

कार्य

Theorem: — For every measurable subadditive function $f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,$ the limit $\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}$ exists and is equal to $\inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.$ (The limit may be $-\infty .$)

यदि f एक उप-योगात्मक फलन है, और यदि 0 इसके प्रांत में है, तो f(0) ≥ 0. इसे देखने के लिए, असमानता को सबसे ऊपर लें। $f(x)\geq f(x+y)-f(y)$. इस तरह $f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0$ अवतल कार्य $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ साथ $f(0)\geq 0$ उपयोगात्मक भी है। इसे देखने के लिए सबसे पहले वह देखता है $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$. फिर इस बाउंड फॉर के योग को देखते हुए $f(x)$ और $f(y)$, अंत में सत्यापित करेगा कि f सबएडिटिव है। उप-योगात्मक फ़ंक्शन का नकारात्मक अति-संयोजन है।

विभिन्न डोमेन में उदाहरण

एंट्रॉपी

एंट्रॉपी सूचना सिद्धांत और सांख्यिकीय भौतिकी में मौलिक भूमिका निभाता है, साथ ही वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी के कारण सामान्यीकृत फॉर्मूलेशन में क्वांटम यांत्रिकी में भी। एन्ट्रॉपी हमेशा अपने सभी योगों में एक उप-योगात्मक मात्रा के रूप में प्रकट होता है, जिसका अर्थ है कि एक सुपरसिस्टम की एन्ट्रापी या यादृच्छिक चर का एक सेट संघ हमेशा इसके व्यक्तिगत घटकों के एन्ट्रापी के योग से कम या बराबर होता है। इसके अतिरिक्त, भौतिकी में एन्ट्रॉपी शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में एंट्रॉपी की मजबूत उप-अधिकता और क्वांटम एन्ट्रॉपी की इसकी मजबूत उप-योगात्मकता जैसी कई और सख्त असमानताओं को संतुष्ट करती है।

अर्थशास्त्र

उप-विघटन कुछ विशेष लागत वक्रों का एक आवश्यक गुण है। प्राकृतिक एकाधिकार के सत्यापन के लिए यह आम तौर पर एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। इसका तात्पर्य है कि समान संख्या में फर्मों द्वारा मूल मात्रा के एक अंश के उत्पादन की तुलना में केवल एक फर्म से उत्पादन सामाजिक रूप से कम खर्चीला (औसत लागत के संदर्भ में) है।

पैमाने की अर्थव्यवस्थाओं को उप-औसत औसत लागत कार्यों द्वारा दर्शाया जाता है।

पूरक वस्तुओं के मामले को छोड़कर, वस्तुओं की कीमत (मात्रा के कार्य के रूप में) उप-योगात्मक होनी चाहिए। अन्यथा, यदि दो वस्तुओं की लागत का योग उनमें से दो के बंडल की लागत से सस्ता है, तो कोई भी बंडल कभी नहीं खरीदेगा, प्रभावी रूप से बंडल की कीमत दोनों की कीमतों का योग बन जाती है अलग आइटम। इस प्रकार यह साबित करना कि प्राकृतिक एकाधिकार के लिए यह पर्याप्त स्थिति नहीं है; चूंकि विनिमय की इकाई किसी वस्तु की वास्तविक लागत नहीं हो सकती है। यह स्थिति राजनीतिक क्षेत्र में सभी के लिए परिचित है जहां कुछ अल्पसंख्यक दावा करते हैं कि सरकार के किसी विशेष स्तर पर कुछ विशेष स्वतंत्रता के नुकसान का मतलब है कि कई सरकारें बेहतर हैं; जबकि अधिकांश का दावा है कि लागत की कोई अन्य सही इकाई है।

वित्त

जोखिम प्रबंधन में सुसंगत जोखिम उपायों के वांछनीय गुणों में से एक है। जोखिम माप उप-विघटन के पीछे आर्थिक अंतर्ज्ञान यह है कि एक पोर्टफोलियो जोखिम जोखिम, कम से कम, पोर्टफोलियो को बनाने वाले व्यक्तिगत पदों के जोखिम जोखिम के योग के बराबर होना चाहिए। किसी भी अन्य मामले में विविधीकरण (वित्त) के प्रभाव के परिणामस्वरूप एक पोर्टफोलियो जोखिम होगा जो कि व्यक्तिगत जोखिम जोखिम के योग से कम है। सबअडिटिविटी की कमी जोखिम मॉडल पर मूल्य की मुख्य आलोचनाओं में से एक है जो जोखिम कारकों के सामान्य वितरण की धारणा पर भरोसा नहीं करती है। गॉसियन VaR उप-विषमता सुनिश्चित करता है: उदाहरण के लिए, दो एकात्मक लंबी स्थिति पोर्टफोलियो का गॉसियन VaR $V$ आत्मविश्वास के स्तर पर $1-p$ यह मानते हुए कि औसत पोर्टफोलियो मूल्य भिन्नता शून्य है और वीएआर को नकारात्मक नुकसान के रूप में परिभाषित किया गया है,

$${\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}$$

कहाँ $z_{p}$ प्रायिकता स्तर पर सामान्य संचयी बंटन फलन का व्युत्क्रम है $p$, $\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}$ व्यक्तिगत स्थिति वापसी विचरण हैं और $\rho _{xy}$ दो व्यक्तिगत पदों के रिटर्न के बीच पियर्सन सहसंबंध गुणांक है। चूंकि विचरण हमेशा धनात्मक होता है,

$${\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}$$

इस प्रकार गाऊसी VaR के किसी भी मूल्य के लिए उप-योगात्मक है $\rho _{xy}\in [-1,1]$ और, विशेष रूप से, यह व्यक्तिगत जोखिम जोखिम के योग के बराबर होता है जब $\rho _{xy}=1$ जो पोर्टफोलियो जोखिम पर कोई विविधीकरण प्रभाव नहीं होने का मामला है।

ऊष्मप्रवैगिकी

गैर-आदर्श समाधानों और मिश्रणों के थर्मोडायनामिक गुणों में उप-विषमता होती है जैसे अतिरिक्त दाढ़ की मात्रा और मिश्रण की गर्मी या अतिरिक्त तापीय धारिता।

शब्दों पर कॉम्बिनेटरिक्स

एक फैक्टोरियल औपचारिक भाषा $L$ वह है जहां एक स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) में है $L$, तो उस शब्द के सभी सबस्ट्रिंग भी अंदर हैं $L$. शब्दों पर कॉम्बिनेटरिक्स में, संख्या निर्धारित करने के लिए एक आम समस्या है $A(n)$ लंबाई की-$n$ तथ्यात्मक भाषा में शब्द। स्पष्ट रूप से $A(m+n)\leq A(m)A(n)$, इसलिए $\log A(n)$ उप-योगात्मक है, और इसलिए के विकास का अनुमान लगाने के लिए फेकेटे के लेम्मा का उपयोग किया जा सकता है $A(n)$. हरएक के लिए $k\geq 1$, लंबाई के दो तारों का नमूना लें $n$ समान रूप से वर्णमाला पर यादृच्छिक रूप से $1,2,...,k$. सबसे लंबे समय तक सामान्य अनुक्रम की अपेक्षित लंबाई का एक सुपर-एडिटिव फ़ंक्शन है $n$, और इस प्रकार एक संख्या मौजूद है $\gamma _{k}\geq 0$, जैसे कि अपेक्षित लंबाई बढ़ती है $\sim \gamma _{k}n$. के साथ मामले की जाँच करके $n=1$, हमारे पास आसानी से है ${\frac {1}{k}}<\gamma _{k}\leq 1$. सम का सटीक मान $\gamma _{2}$हालांकि, केवल 0.788 और 0.827 के बीच जाना जाता है।

यह भी देखें

• Apparent molar property
• Choquet integral
• Superadditivity
• Triangle inequality

संदर्भ

• György Pólya and Gábor Szegő. "Problems and theorems in analysis, volume 1". Springer-Verlag, New York (1976). ISBN 0-387-05672-6.
• Einar Hille. "Functional analysis and semi-groups". American Mathematical Society, New York (1948).
• N.H. Bingham, A.J. Ostaszewski. "Generic subadditive functions." Proceedings of American Mathematical Society, vol. 136, no. 12 (2008), pp. 4257–4266.

बाहरी संबंध

This article incorporates material from subadditivity on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.