सम्मिश्रता

For the complexification of a real Lie group, see Complexification (Lie group).

गणित में, सदिश स्थान की जटिलता V वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में (एक वास्तविक सदिश स्थान) एक सदिश स्थान देता है V^C सम्मिश्र संख्या क्षेत्र (गणित) पर, औपचारिक रूप से जटिल संख्याओं द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को शामिल करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) के लिए V (वास्तविक संख्याओं पर एक स्थान) भी आधार के रूप में काम कर सकता है V^C जटिल संख्याओं पर।

औपचारिक परिभाषा

होने देना $V$ एक वास्तविक सदिश स्थान बनें।complexification का V का टेंसर उत्पाद लेकर परिभाषित किया गया है $V$ जटिल संख्याओं के साथ (वास्तविकता से अधिक 2-आयामी वेक्टर स्थान के रूप में माना जाता है):

$V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.$

सबस्क्रिप्ट, $\mathbb {R}$, टेंसर उत्पाद पर इंगित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं पर ले लिया गया है (चूंकि $V$ एक वास्तविक सदिश स्थान है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है)। जैसा यह प्रतीक होता है, $V^{\mathbb {C} }$ केवल एक वास्तविक सदिश स्थान है। हालाँकि, हम बना सकते हैं $V^{\mathbb {C} }$ जटिल गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके एक जटिल सदिश स्थान में:

$\alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .$

आम तौर पर, जटिलीकरण अदिशों के विस्तार का एक उदाहरण है - यहाँ अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करना - जो किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में छल्ले के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, जटिलता एक मज़ेदार है Vect_R → Vect_C, वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी तक। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - भुलक्कड़ फ़ैक्टर के लिए Vect_C → Vect_R जटिल संरचना को भूल जाना।

यह एक जटिल सदिश स्थान की जटिल संरचना को भूल जाता है $V$ कहा जाता हैdecomplexification (या कभी-कभीrealification ). एक जटिल सदिश स्थान का अपघटन $V$ आधार के साथ $e_{\mu }$ स्केलर्स के जटिल गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार एक वास्तविक सदिश स्थान प्रदान करता है $W_{\mathbb {R} }$ आधार के साथ दो गुना आयाम $\{e_{\mu },ie_{\mu }\}.$

मूल गुण

टेंसर उत्पाद की प्रकृति से, प्रत्येक वेक्टर v में V^C के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

$v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i$

कहाँ v₁ और v₂ में सदिश हैं V. टेंसर उत्पाद प्रतीक को छोड़ना और लिखना एक आम बात है

$v=v_{1}+iv_{2}.\,$

जटिल संख्या से गुणा a + i b तब सामान्य नियम द्वारा दिया जाता है

$(a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,$

हम तब सम्मान कर सकते हैं V^C की दो प्रतियों के सदिश स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में V:

$V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV$

सम्मिश्र संख्याओं से गुणन के लिए उपरोक्त नियम के साथ।

का स्वाभाविक बन्धन है V में V^C द्वारा दिए गए

$v\mapsto v\otimes 1.$

वेक्टर स्थान V को तब की एक वास्तविक रैखिक उपसमष्टि के रूप में माना जा सकता है V^C. अगर V का एक आधार है (रैखिक बीजगणित) { e_i } (मैदान के ऊपर R) तो के लिए एक इसी आधार V^C द्वारा दिया गया है { e_i ⊗ 1 } मैदान के ऊपर C. का जटिल आयाम (रैखिक बीजगणित)। V^C इसलिए के वास्तविक आयाम के बराबर है V:

$\dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.$

वैकल्पिक रूप से, टेंसर उत्पादों का उपयोग करने के बजाय, इस प्रत्यक्ष योग का उपयोग जटिलता की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है:

$V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,$

कहाँ $V^{\mathbb {C} }$ ऑपरेटर द्वारा एक रैखिक जटिल संरचना दी जाती है J के रूप में परिभाषित $J(v,w):=(-w,v),$ कहाँ J "द्वारा गुणन" के संचालन को कूटबद्ध करता है i”। मैट्रिक्स रूप में, J द्वारा दिया गया है:

$J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.$

यह समान स्थान उत्पन्न करता है - रैखिक जटिल संरचना वाला एक वास्तविक वेक्टर स्थान एक जटिल वेक्टर स्थान के समान डेटा है - हालांकि यह अंतरिक्ष को अलग तरीके से बनाता है। इसलिए, $V^{\mathbb {C} }$ रूप में लिखा जा सकता है $V\oplus JV$ या $V\oplus iV,$ की पहचान V पहले सीधे योग के साथ। यह दृष्टिकोण अधिक ठोस है, और इसमें तकनीकी रूप से शामिल टेंसर उत्पाद के उपयोग से बचने का लाभ है, लेकिन यह तदर्थ है।

उदाहरण

• वास्तविक समन्वय स्थान की जटिलता Rⁿ जटिल समन्वय स्थान है Cⁿ.
• इसी प्रकार यदि V के होते हैं m×n मैट्रिक्स (गणित) वास्तविक प्रविष्टियों के साथ, V^C से मिलकर बनेगा m×n जटिल प्रविष्टियों के साथ matrices।

डिकसन दोहरीकरण

Main article: Cayley–Dickson construction

से हटकर जटिलता की प्रक्रिया R को C लियोनार्ड डिक्सन सहित बीसवीं सदी के गणितज्ञों द्वारा अमूर्त किया गया था। एक पहचान मानचित्रण के उपयोग से शुरू होता है x* = x एक तुच्छ समावेशन (गणित) के रूप में R. R की अगली दो प्रतियाँ बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं z = (a , b) इनवोल्यूशन के रूप में पेश किए गए जटिल संयुग्मन के साथ z* = (a, −b). दो तत्व w और z दोगुने सेट में से गुणा करें

$wz=($