कुएट प्रवाह

द्रव गतिकी में, कौएट प्रवाह दो सतहों के बीच की जगह में एक चिपचिपापन द्रव का प्रवाह है, जिनमें से एक दूसरे के सापेक्ष स्पर्शरेखा से चल रहा है। इन सतहों की आपेक्षिक गति द्रव पर कौएट का दबाव डालती है और प्रवाह को प्रेरित करती है। इस शब्द की परिभाषा के आधार पर प्रवाह दिशा में अनुप्रयुक्त दाब प्रवणता भी हो सकती है।

कौएट संरचना कुछ व्यावहारिक समस्याओं का प्रारूप प्रदर्शित करता है, जैसे पृथ्वी का आवरण और पृथ्वी का वातावरण, और हल्के भारित द्रव असर में प्रवाहित करते हैं। यह विस्कोमीटर में भी कार्यरत है और समय प्रतिवर्तीता के अनुमानों को प्रदर्शित करता है। इसका नाम 19वीं शताब्दी के अंत में फ्रेंच एंगर्स विश्वविद्यालय में भौतिकी के प्रोफेसर मौरिस डुवेट के नाम पर रखा गया है।

प्लेनर डुवेट प्रवाह

दो अनंत समतल प्लेटों का उपयोग करते हुए सरल कौएट विन्यास।

शियरिंग (भौतिकी) या कौएट चालित द्रव गति को दर्शाने के लिए अधिकांशतः अंडरग्रेजुएट भौतिकी और अभियांत्रिकी के पाठ्यक्रमों में कौएट प्रवाह का उपयोग किया जाता है। इस साधारण विन्यास दूरी से अलग दो अनंत, समांतर प्लेटों $h$ से मेल खाता है, इसमें एक प्लेट निरंतर सापेक्ष वेग $U$ के कारण अपने ही विमान में के साथ अनुवाद करती है। इन दबाव की प्रवणताओं की उपेक्षा करते हुए नेवियर-स्टोक्स समीकरण इस प्रकार सरलीकृत हो जाते हैं-

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=0,$

जहाँ $y$ स्थानिक समन्वय प्लेटों के लिए सामान्य है और $u(y)$ वेग क्षेत्र है। यह समीकरण इस धारणा को दर्शाता है कि प्रवाह यूनिडायरेक्शनल है - अर्थात, वेग के तीन घटकों में से केवल एक $(u,v,w)$ गैर तुच्छ है। यदि निचली प्लेट $y=0$ से मेल खाती है, $u(0)=0$ और $u(h)=U$ इसकी सीमा शर्तों को प्रदर्शित करता हैं, इसके लिए उक्त समीकरण का उपयोग करते हैं-

$u(y)=U{\frac {y}{h}}$

इसे दो बार समाकलित करके और सीमा शर्तों का उपयोग करके स्थिरांकों को हल करके पाया जा सकता है। इस प्रवाह का उल्लेखनीय पहलू यह है कि कौएट तनाव पूरे डोमेन में स्थिर रहता है। विशेष रूप से वेग का पहला व्युत्पन्न $U/h$ स्थिर है। श्यानता के अनुसार न्यूटन का श्यानता का नियम (न्यूटोनियन द्रव), अपरूपण प्रतिबल इस अभिव्यक्ति और (निरंतर) द्रव श्यानता का उत्पाद है।

स्टार्टअप

वास्तविकता में कौएट का हल तुरंत नहीं पहुंचता है। इसकी स्थिर अवस्था के दृष्टिकोण का वर्णन करने वाली स्टार्टअप समस्या किसके द्वारा दी गई है

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$

प्रारंभिक शर्त के अधीन

$u(y,0)=0,\quad 0<y<h,$

और स्थिर प्रवाह के समान सीमा शर्तों के साथ:

$u(0,t)=0,\quad u(h,t)=U,\quad t>0.$

स्थिर समाधान को घटाकर समस्या को समांगी अवकल समीकरण बनाया जा सकता है। इसे फिर चरों के पृथक्करण को लागू करने से समाधान प्राप्त होता है:

$u(y,t)=U{\frac {y}{h}}-{\frac {2U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-n^{2}\pi ^{2}{\frac {\nu t}{h^{2}}}}\sin \left[n\pi \left(1-{\frac {y}{h}}\right)\right]$.

स्थिर अवस्था में विश्राम का वर्णन करने वाला टाइमस्केल $t\sim h^{2}/\nu$ है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस प्रकार स्थिर अवस्था तक पहुँचने में लगने वाला समय केवल प्लेटों के बीच की दूरी $h$ पर निर्भर करता है और तरल पदार्थ की कीनेमेटिक चिपचिपाहट $U$ चालू नहीं रहता हैं।

दाब प्रवणता के साथ तलीय प्रवाह

एक अधिक सामान्य कौएट प्रवाह में एक स्थिर दबाव प्रवणता $G=-dp/dx=\mathrm {constant}$ सम्मिलित है, इन प्लेटों के समानांतर दिशा में नेवियर-स्टोक्स समीकरण इस प्रकार उपयोग होता हैं-

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }},$

जहाँ $\mu$ गतिशील चिपचिपाहट है। उपरोक्त समीकरण को दो बार एकीकृत करना और सीमा शर्तों को लागू करने (दबाव प्रवणता के बिना कौएट प्रवाह के स्थितियोंमें समान) देता है

$u(y)={\frac {G}{2\mu }}y\,(h-y)+U{\frac {y}{h}}.$

दाब प्रवणता धनात्मक (प्रतिकूल दाब प्रवणता) या ऋणात्मक (अनुकूल दाब प्रवणता) हो सकती है। स्थिर प्लेटों के सीमित स्थितियोंमें ($U=0$), प्रवाह को हेगन-पॉइज़्यूइल समीकरण#प्लेन पॉइज़्यूइल प्रवाह के रूप में संदर्भित किया जाता है, और इसमें एक सममित (क्षैतिज मध्य-विमान के संदर्भ में) परवलयिक वेग प्रोफ़ाइल है।