मिलर प्रमेय

मिलर की प्रमेय समतुल्य परिपथ बनाने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है इसमें श्रृंखला में जुड़े दो विभवान्तर स्रोतों द्वारा आपूर्ति की जाने वाली एक अस्थिर प्रतिबाधा तत्व के साथ जुड़े दो क्षेत्र तत्वों में विभाजित हो सकती है तथा समानांतर में जुड़े दो स्थित स्रोतों द्वारा आपूर्ति की गई प्रतिबाधा के संबंध में एक मिलर प्रमेय भी है यह दो संस्करण तथा दो किरचॉफ के परिपथ कानूनों पर आधारित है।

मिलर प्रमेय केवल शुद्ध गणितीय अभिव्यक्तियाँ ही नहीं बल्कि ये व्यवस्थाएँ प्रतिबाधा को संशोधित करने के लिए महत्वपूर्ण परिपथ में घटनाओं की व्याख्या करती हैं और विभिन्न सामान्य परिपथों को बनावट करने और समझने में मदद करती हैं प्रमेय परिपथ विश्लेषण में विशेष रूप से प्रतिक्रिया के साथ परिपथ का विश्लेषण करने के लिए उपयोगी होते हैं और उच्च आवृत्तियों पर कुछ अर्धचालक उपकरण और प्रवर्धक मिलर प्रमेय तथा मिलर प्रभाव के बीच घनिष्ठ संबंध रखते हैं प्रमेय के प्रभाव को सामान्यीकरण के रूप में जाना जा सकता है ।

मिलर प्रमेय विभवान्तर के लिए

परिभाषा

मिलर प्रमेय स्थापित करता है कि एक रैखिक परिपथ में यदि प्रतिबाधा वाली शाखा स्थित है तो $Z$ ग्रन्थि विभवान्तर के साथ दो ग्रन्थि $V_{1}$ और $V_{2}$ को जोड़ा जाता है इस शाखा को क्रमशः प्रतिबाधाओं द्वारा संबंधित ग्रन्थि को जमीन से जोड़ने वाली दो शाखाओं द्वारा प्रतिस्थापित कर सकते हैं ${\frac {Z}{1-K}}$ और ${\frac {KZ}{K-1}}$ जब $K={\frac {V_{2}}{V_{1}}}$ मिलर प्रमेय को समतुल्य चाल तकनीक का उपयोग करके चाल को उसके समकक्ष से बदलने और स्रोत अवशोषण प्रमेय को लागू करके सिद्ध किया जा सकता है मिलर प्रमेय का यह संस्करण किरचॉफ के विभवान्तर नियम पर आधारित है इस कारण इसे विभवान्तर की मिलर प्रमेय भी कहा जाता है।

स्पष्टीकरण

File:Miller's theorem schematic.jpg

मिलर के प्रमेय पर एक योजनाबद्ध

मिलर प्रमेय का तात्पर्य है कि एक प्रतिबाधा तत्व की आपूर्ति दो स्वैच्छिक विभवान्तर स्रोतों द्वारा की जाती है जो श्रृंखला माध्यम से जुड़े होते हैं तथा उनमें से एक विभवान्तर के साथ मुख्य विभवान्तर स्रोत के रूप में कार्य करता है पहला $V_{1}$ और दूसरा v2

अगर $V_{2}$ शून्य थे तो तत्व के माध्यम से बहने वाली इनपुट धारा ओम के नियम के अनुसार $V_{1}$द्वारा निर्धारित की जायेगी

जहॉं $I_{in0}={\frac {V_{1}}{Z}}$

और परिपथ का इनपुट इस प्रकार है-

$Z_{in0}={\frac {V_{1}}{I_{in0}}}=Z.$

जैसे ही दूसरा विभवान्तर स्रोत में सम्मिलित होता है तो इनपुट धारा दोनों विभवान्तरों पर निर्भर करता है इसकी ध्रुवीयता के अनुसार $V_{2}$ घटाया या जोड़ा जाता है इसलिए $V_{1}$इनपुट धारा को घटता या बढ़ता है जहाँ

$I_{in}={\frac {V_{1}-V_{2}}{Z}}={\frac {(1-K)}{Z}}{V_{1}}={(1-K)}{I_{in0}}$

तब

$Z_{in}={\frac {V_{1}}{I_{in}}}={\frac {Z}{1-K}}.$

मिलर प्रमेय इस तथ्य को व्यक्त करता है कि दूसरे विभवान्तर स्रोत को आनुपातिक विभवान्तर से जोड़ना $V_{2}=K{V_{1}}$ तथा इनपुट विभवान्तर स्रोत के साथ श्रृंखला में प्रभावी विभवान्तर वर्तमान में इनपुट स्रोत से देखा जाने वाला परिपथ प्रतिबाधा बदलता है या नहीं ध्रुवीयता के आधार पर $V_{2}$ प्रतिबाधा के माध्यम से धारा पास करने के लिए मुख्य विभवान्तर स्रोत की मदद या विरोध करने वाले पूरक विभवान्तर स्रोत के रूप में कार्य करता है।

दो विभवान्तर स्रोतों के संयोजन को एक नए विभवान्तर स्रोत के रूप में प्रस्तुत करने के अलावा प्रमेय को वास्तविक तत्व और दूसरे विभवान्तर स्रोत को गतिशील रूप से संशोधित प्रतिबाधा के साथ एक नए आभासी तत्व में जोड़कर समझाया जा सकता है इस दृष्टिकोण से $V_{2}$ एक अतिरिक्त विभवान्तर है जो कृत्रिम रूप से बढ़ाता या घटाता है $V_{z}$ प्रतिबाधा $Z$ प्रकार के विभवान्तर वर्तमान में घटया बढ़ रहा है विभवान्तर के बीच का अनुपात प्राप्त प्रतिबाधा के मूल्य को निर्धारित करता है और विशिष्ट अनुप्रयोगों के कुल छह समूहों में यह सम्मिलित है।

कार्यान्वयन

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सिंगल-एंड वोल्टेज एम्पलीफायर के आधार पर मिलर प्रमेय का एक विशिष्ट कार्यान्वयन

सबसे अधिक बार मिलर प्रमेय को प्रतिबाधा वाले तत्व से युक्त व्यवस्था में देखा और कार्यान्वित किया जा सकता है $Z$ एक क्षेत्र सामान्य निर्जीव नेटवर्क के दो टर्मिनलों के बीच जुड़ा हुआ है आमतौर पर एक विभवान्तर प्रवर्धक के लाभ के साथ $A_{V}=K$ इस तरह के एक रैखिक नेटवर्क के रूप में कार्य करता है लेकिन अन्य डिवाइस भी इस भूमिका को निभा सकते हैं जिसे विभवमापी यंत्र कहते हैं

विभवमापी यंत्र में इनपुट विभवान्तर $V_{i}$ है जैसे $V_{1}$ और आउटपुट विभवान्तर $V_{o}$ जैसा $V_{2}$. कई जगहों में इनपुट विभवान्तर स्रोत में कुछ आंतरिक प्रतिबाधा उत्पन्न होती है $Z_{int}$ या एक अतिरिक्त इनपुट प्रतिबाधा इससे जुड़ी है जिसके संयोजन में $Z$ प्रतिक्रिया प्रस्तुत करता है विभवमापी के प्रकार के आधार पर प्रतिपुष्टि सकारात्मक या नकारात्मक तथा मिश्रित हो सकती है।

मिलर प्रवर्धक व्यवस्था के दो पहलू हैं

• प्रवर्धक को एक अतिरिक्त विभवान्तर स्रोत के रूप में जाना जा सकता है जो वास्तविक प्रतिबाधा को आभासी प्रतिबाधा में परिवर्तित करता है
• आभासी प्रतिबाधा को विभवमापी इनपुट के समानांतर जुड़े तत्व के रूप में सोचा जा सकता है जो आभासी प्रतिबाधा विभवमापी इनपुट प्रतिबाधा को संशोधित करती है।

अनुप्रयोग

एक प्रतिबाधा का परिचय जो विभवमापी इनपुट और आउटपुट को जोड़ता है मिलर प्रमेय कम करने में मदद करता है तथा विशेष रूप से प्रतिपुष्टि के साथ कुछ परिपथ में जटिलता के समतुल्य परिपथों में परिवर्तित करके मिलर प्रमेय परिपथ एक प्रभावी उपकरण है यह अतिरिक्त विभवान्तर द्वारा प्रतिबाधा को संशोधित करने के आधार पर परिपथ को समझने का एक शक्तिशाली उपकरण भी है।

घटाव पर आधारित अनुप्रयोग $V_{2}$ से $V_{1}$

इन अनुप्रयोगों में आउटपुट विभवान्तर $V_{o}$ के संबंध में एक विपरीत ध्रुवता के साथ डाला जाता है $V_{i}$

बढ़ी हुई प्रतिबाधा एक गैर-प्रतिलोम प्रवर्धक द्वारा कार्यान्वित की जाती है

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ऑप-एम्प गैर-इनवर्टिंग एम्पलीफायर मिलर प्रमेय के आधार पर श्रृंखला नकारात्मक प्रतिक्रिया के साथ एक विशिष्ट सर्किट है, जहां ऑप-एम्प अंतर इनपुट प्रतिबाधा स्पष्ट रूप से अनंत तक बढ़ जाती है।

अनंत प्रतिबाधा एक गैर-प्रतिलोम प्रवर्धक का उपयोग करती है $A_{v}=1$. आउटपुट विभवान्तर इनपुट के बराबर है $V_{i}$ इसे पूरी तरह से निष्प्रभावी कर देता है

नकारात्मक प्रतिबाधा एक गैर-विभवमापी द्वारा कार्यान्वित की जाती है $A_{v}>1$ अपनी दिशा बदलता है क्योंकि आउटपुट विभवान्तर इनपुट विभवान्तर से अधिक होता है।

$V_{2}$ को $V_{1}$ जोड़ने के आधार पर आवेदन

इन अनुप्रयोगों में आउटपुट विभवान्तर $V_{o}$इनपुट विभवान