द्रव समाधान

सामान्य सापेक्षता में, एक द्रव समाधान आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के सामान्य सापेक्षता में एक सटीक समाधान है जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पूरी तरह से द्रव के द्रव्यमान, संवेग और तनाव घनत्व द्वारा निर्मित होता है।

खगोल भौतिकी में, द्रव समाधान अक्सर तारकीय मॉडल के रूप में कार्यरत होते हैं। (यह आदर्श गैस को एक आदर्श द्रव के विशेष मामले के रूप में सोचने में मदद कर सकता है।) भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में, द्रव समाधान अक्सर ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडल के रूप में उपयोग किए जाते हैं।

गणितीय परिभाषा

एक आपेक्षिक द्रव के प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर को रूप में लिखा जा सकता है

$T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}+\left(u^{a}\,q^{b}+q^{a}\,u^{b}\right)+\pi ^{ab}$

यहाँ

• द्रव तत्त्वों की विश्व रेखाएँ चतुष्कोणों के अभिन्न वक्र हैं $u^{a}$,
• प्रोजेक्शन टेंसर $h_{ab}=g_{ab}+u_{a}\,u_{b}$ अन्य टेंसरों को हाइपरप्लेन तत्वों पर ऑर्थोगोनल प्रोजेक्ट करता है $u^{a}$,
• पदार्थ का घनत्व स्केलर फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है $\mu$,
• स्केलर फ़ंक्शन द्वारा दबाव दिया जाता है $p$,
• हीट फ्लक्स वेक्टर द्वारा दिया जाता है $q^{a}$,
• विस्कस अपरूपण टेंसर द्वारा दिया जाता है $\pi ^{ab}$.

हीट फ्लक्स वेक्टर और विस्कस शीयर टेंसर विश्व रेखाओं के अनुप्रस्थ हैं, इस अर्थ में कि

$q_{a}\,u^{a}=0,\;\;\pi _{ab}\,u^{b}=0$

इसका मतलब यह है कि वे प्रभावी रूप से त्रि-आयामी मात्राएं हैं, और चूंकि चिपचिपा तनाव टेंसर सममित मैट्रिक्स और लापता है, उनके पास क्रमशः तीन और पांच रैखिक स्वतंत्रता घटक हैं। घनत्व और दबाव के साथ, यह कुल 10 रैखिक रूप से स्वतंत्र घटक बनाता है, जो चार-आयामी सममित रैंक दो टेंसर में रैखिक रूप से स्वतंत्र घटकों की संख्या है।

विशेष मामले

द्रव विलयन के कई विशेष मामले उल्लेखनीय हैं (यहाँ प्रकाश की गति c = 1):

• एक आदर्श तरल पदार्थ में गायब चिपचिपा कतरनी और लुप्त गर्मी प्रवाह होता है:

$T^{ab}=(\mu +p)\,u^{a}\,u^{b}+p\,g^{ab},$

• धूल का घोल एक दबाव रहित संपूर्ण तरल पदार्थ है:

$T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b},$

• एक विकिरण द्रव एक संपूर्ण तरल पदार्थ है $\mu =3p$:

$T^{ab}=p\,\left(4\,u^{a}\,u^{b}+\,g^{ab}\right).$

अंतिम दो अक्सर (क्रमशः) पदार्थ-वर्चस्व वाले और विकिरण-वर्चस्व वाले युगों के लिए ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडल के रूप में उपयोग किए जाते हैं। ध्यान दें कि सामान्य तौर पर तरल पदार्थ को निर्दिष्ट करने के लिए दस कार्यों की आवश्यकता होती है, एक पूर्ण तरल पदार्थ को केवल दो की आवश्यकता होती है, और धूल और विकिरण तरल पदार्थ प्रत्येक को केवल एक समारोह की आवश्यकता होती है। सामान्य द्रव समाधान खोजने की तुलना में इस तरह के समाधानों को खोजना बहुत आसान है।

धूल या विकिरण तरल पदार्थों के अलावा अन्य सही तरल पदार्थों में, अब तक का सबसे महत्वपूर्ण विशेष मामला स्थिर गोलाकार सममित पूर्ण द्रव समाधान है। इन्हें हमेशा एक गोलाकार सतह पर श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक से मिलान किया जा सकता है, इसलिए उन्हें तारकीय मॉडल में आंतरिक समाधान के रूप में उपयोग किया जा सकता है। ऐसे मॉडलों में, गोला $r=r$