एटवुड मशीन

एटवुड मशीन का चित्रण, 1905।

एटवुड मशीन (या एटवुड की मशीन) का आविष्कार 1784 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉर्ज एटवुड द्वारा निरंतर त्वरण के साथ न्यूटन के गति के नियमों को सत्यापित करने के लिए एक प्रयोगशाला प्रयोग के रूप में किया गया था। एटवुड की मशीन शास्त्रीय यांत्रिकी के सिद्धांतों को दर्शाने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला एक सामान्य कक्षा प्रदर्शन है।

आदर्श एटवुड मशीन में द्रव्यमान की दो वस्तुएँ होती हैं m₁ और m₂, एक काइनेमेटिक्स#Inextensible कॉर्ड मासलेस स्ट्रिंग द्वारा एक आदर्श मासलेस घिरनी पर जुड़ा हुआ है। दोनों द्रव्यमान समान त्वरण का अनुभव करते हैं। कब m₁ = m₂, वजन की स्थिति की परवाह किए बिना मशीन स्थिर संतुलन में है।

निरंतर त्वरण के लिए समीकरण

एटवुड मशीन के दो लटके पिंडों का मुफ्त शरीर आरेख त्वरण यूक्लिडियन वैक्टर द्वारा दर्शाया गया हमारा संधिपत्र पर हस्ताक्षर करें है m₁ नीचे की ओर बढ़ता है और वह m₂ ऊपर की ओर गति करता है, जैसा कि मामला होगा m₁ > m₂

बलों का विश्लेषण करके त्वरण के लिए एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है।

एक द्रव्यमान रहित, अवितान्य डोरी और एक आदर्श द्रव्यमान रहित चरखी मानते हुए, विचार करने के लिए केवल बल हैं: तनाव बल (T), और दो जनता का वजन (W₁ और W₂). त्वरण खोजने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत द्रव्यमान को प्रभावित करने वाली शक्तियों पर विचार करें। न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करना (एक चिह्न परिपाटी के साथ $m_{1}>m_{2}$) त्वरण के लिए युगपत समीकरण व्युत्पन्न करें (a).

साइन परिपाटी के रूप में, मान लें कि जब नीचे की ओर होता है तो सकारात्मक होता है $m_{1}$ और ऊपर के लिए $m_{2}$. का वजन $m_{1}$ और $m_{2}$ सादा है $W_{1}=m_{1}g$ और $W_{2}=m_{2}g$ क्रमश।

एम को प्रभावित करने वाले बल₁:

$$m_{1}g-T=m_{1}a$$

एम को प्रभावित करने वाले बल₂:

$$T-m_{2}g=m_{2}a$$

और पिछले दो समीकरणों को जोड़ने से प्राप्त होता है

$$m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a,$$

और त्वरण के लिए समापन सूत्र

$$a=g{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$$

एटवुड मशीन का उपयोग कभी-कभी गति के समीकरणों को प्राप्त करने के लैग्रैन्जियन यांत्रिकी को समझाने के लिए किया जाता है।

तनाव के लिए समीकरण

डोरी में तनाव (भौतिकी) के लिए एक समीकरण जानना उपयोगी हो सकता है। तनाव का मूल्यांकन करने के लिए, दो बल समीकरणों में से किसी एक में त्वरण के लिए समीकरण को प्रतिस्थापित करें।

$$a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}$$

उदाहरण के लिए, में प्रतिस्थापित करना $m_{1}a=m_{1}g-T$, का परिणाम

$$T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}={2g \over 1/m_{1}+1/m_{2}}=m_{h}\,g$$

कहाँ $m_{h}={\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ दो द्रव्यमानों का अनुकूल माध्य है। का संख्यात्मक मान $m_{h}$ दो द्रव्यमानों में से छोटे के करीब है।

जड़ता और घर्षण के साथ चरखी के लिए समीकरण

के बीच बहुत छोटे जन अंतर के लिए m₁ और m₂, जड़ता का क्षण I त्रिज्या की चरखी r उपेक्षित नहीं किया जा सकता। चरखी का कोणीय त्वरण नो-स्लिप स्थिति द्वारा दिया जाता है:

$$\alpha ={\frac {a}{r}},$$

कहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है। शुद्ध टोक़ तब है:

$$\tau _{\mathrm {net} }=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{\mathrm {friction} }=I\alpha$$

हैंगिंग मास के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के साथ संयोजन, और हल करना T₁, T₂, और a, हम पाते हैं:

त्वरण:

$$a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{\mathrm {friction} } \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}$$

निकटतम स्ट्रिंग खंड में तनाव m₁:

$$T_{1}={{m_{1}g\left(2m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}+{\frac {\tau _{\mathrm {friction} }}{rg}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

निकटतम स्ट्रिंग खंड में तनाव m₂:

$$T_{2}={{m_{2}g\left(2m_{1}+{\frac {I}{r^{2}}}+{\frac {\tau _{\mathrm {friction} }}{rg}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

बियरिंग घर्षण नगण्य होना चाहिए (लेकिन पुली की जड़ता नहीं और न ही पुली रिम पर स्ट्रिंग का कर्षण), ये समीकरण निम्नलिखित परिणामों के रूप में सरल होते हैं:

त्वरण:

$$a={{g\left(m_{1}-m_{2}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

निकटतम स्ट्रिंग खंड में तनाव m₁:

$$T_{1}={{m_{1}g\left(2m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

निकटतम स्ट्रिंग खंड में तनाव m₂:

$$T_{2}={{m_{2}g\left(2m_{1}+{\frac {I}{r^{2}}}\right)} \over {m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{r^{2}}}}}$$

व्यावहारिक कार्यान्वयन

एटवुड के मूल चित्र रोलिंग-तत्व असर से घर्षण बलों को कम करने के लिए, अन्य चार पहियों के रिम्स पर आराम करने वाली मुख्य चरखी की धुरा दिखाते हैं। मशीन के कई ऐतिहासिक कार्यान्वयन इस डिजाइन का अनुसरण करते हैं।

काउंटरबैलेंस के साथ एक एलेवेटर एक आदर्श एटवुड मशीन का अनुमान लगाता है और इस तरह ड्राइविंग मोटर को एलेवेटर कैब को पकड़ने के भार से राहत देता है - इसे केवल वजन के अंतर और दो द्रव्यमानों की जड़ता को दूर करना होता है। एक ही सिद्धांत का उपयोग रस्से से चलाया जानेवाला रेलवे के लिए किया जाता है, जो झुकी हुई पटरियों पर दो जुड़ी हुई रेलवे कारों के साथ होता है, और एफिल टॉवर पर लिफ्ट के लिए जो एक दूसरे को प्रतिसंतुलित करते हैं। स्की लिफ्ट एक और उदाहरण है, जहां गोंडोल पहाड़ के ऊपर और नीचे एक बंद (निरंतर) चरखी प्रणाली पर चलते हैं। स्की लिफ्ट काउंटर-भारित लिफ्ट के समान है, लेकिन ऊर्ध्वाधर आयाम में केबल द्वारा प्रदान की जाने वाली एक विवश बल के साथ जिससे क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों आयामों में काम होता है। नाव लिफ्ट एक अन्य प्रकार की प्रति-भारित लिफ्ट प्रणाली है जो एक एटवुड मशीन का अनुमान लगाती है।

यह भी देखें

• घर्षण रहित विमान
• कैटर का पेंडुलम
• गोलाकार गाय
• स्विंगिंग एटवुड की मशीन

बाहरी संबंध

• A treatise on the rectilinear motion and rotation of bodies; with a description of original experiments relative to the subject by George Atwood, 1764. Drawings appear on page 450.
• Professor Greenslade's account on the Atwood Machine
• Atwood's Machine by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project