मात्रा तत्व

गणित में, एक आयतन अल्पांश विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों जैसे गोलाकार निर्देशांक प्रणाली और बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में आयतन के संबंध में समाकल फलन (गणित) के लिए एक मध्यमान प्रदान करता है। इस प्रकार एक आयतन अल्पांश रूप का व्यंजक है

$dV=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}$

जहां $u_{i}$ निर्देशांक हैं, ताकि किसी भी समुच्चय $B$ के आयतन की गणना की जा सकती है

$\operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में $dV=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}$, इसलिए $\rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}$ होता है।

आयतन अल्पांश की धारणा तीन आयामों तक सीमित नहीं है: दो आयामों में इसे प्रायः क्षेत्रफल अवयव के रूप में जाना जाता है, और इस समुच्चयन में यह पृष्ठीय समाकलन करने के लिए उपयोगी होता है। निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत, आयतन अल्पांश निर्देशांक परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान (चर सूत्र के परिवर्तन द्वारा) से बदलता है। यह तथ्य आयतन अल्पांश को प्रसमष्‍टि पर एक प्रकार के माप (गणित) के रूप में परिभाषित करने की स्वीकृति देता है। अभिविन्यसनीय अवलकनीय प्रसमष्‍टि पर, आयतन अल्पांश सामान्य रूप से आयतन समघात से एक शीर्ष घात से अवकल समघात उत्पन्न होता है। अनभिविन्यसनीय प्रसमष्‍टि पर, आयतन अल्पांश सामान्य रूप से (स्थानीय रूप से परिभाषित) आयतन समघात का पूर्ण मान होता है: यह 1-घनत्व को परिभाषित करता है।

यूक्लिडियन समष्टि में आयतन अल्पांश

यूक्लिडियन समष्टि में, आयतन अल्पांश कार्तीय निर्देशांक के अवकलन के गुणनफल द्वारा दिया जाता है

$dV=dx\,dy\,dz.$

समघात के विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में $x=x(u_{1},u_{2},u_{3})$, $y=y(u_{1},u_{2},u_{3})$, $z=z(u_{1},u_{2},u_{3})$, निर्देशांक परिवर्तन के जैकोबियन (निर्धारक) द्वारा आयतन अल्पांश बदलता है:

$dV=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक (गणितीय संकेत) में

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}$

जैकबियन निर्धारक है

$\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi$

ताकि

$dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

इसे इस तथ्य के एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है कि अवकलन रूप एक पु�