संकेतक फलन

वर्ग द्वि-आयामी डोमेन (समूह

X

) दिखाया गया संकेतक फलन का त्रि-आयामी प्लॉट "उठाया" हुआ भाग उन द्वि-आयामी बिंदुओं को ओवरले करता है जो संकेतित उपसमुच्चय (

A

) के सदस्य हैं।.

गणित में, संकेतक फलन या समुच्चय (गणित) के उप-समुच्चय का विशिष्ट कार्य फलन (गणित) है। जो उप-समुच्चय के तत्वों को और अन्य सभी तत्वों को शून्य पर मानचित्र करता है। अर्थात यदि $A$ किसी समुच्चय $X$ का उपसमुच्चय है। किसी के समीप $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ यदि $x\in A,$ और $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ अन्यथा जहाँ $\mathbf {1} _{A}$ सूचक फलन के लिए सामान्य संकेतन है। अन्य के लिए $I_{A},$ और $\chi _{A}.$ सामान्य संकेतन होते हैं।

$A$ का सूचक कार्य $A$ से संबंधित संपत्ति का आइवरसन कोष्ठक है। वह है,

\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].

उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फलन वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याओं का सूचक फलन है।

परिभाषा

किसी समुच्चय X के उपसमुच्चय A का सूचक फलन है।

\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}

के रूप में परिभाषित,

\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}

आइवरसन कोष्ठक समकक्ष अंकन प्रदान करता है,

[x\in A]

या

⟦ x \in A ⟧

, के अतिरिक्त

\mathbf {1} _{A}(x)\,.

उपयोग किया जाना है।

The function $\mathbf {1} _{A}$ is sometimes denoted $I A$ , $χ A$ , $K A$ , or even just $A$ .^{[lower-alpha 1]}^{[lower-alpha 2]}

संकेतन और शब्दावली

अंकन $\chi _{A}$ उत्तल विश्लेषण में विशिष्ट फलन (उत्तल विश्लेषण) को निरूपित करने के लिए भी उपयोग किया जाता है। जिसे संकेतक फलन की मानक परिभाषा के व्युत्क्रम का उपयोग करते हुए परिभाषित किया गया है।

सांख्यिकी में संबंधित अवधारणा डमी चर (सांख्यिकी) की है। (यह डमी चर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए क्योंकि यह शब्द सामान्यतः गणित में प्रयोग किया जाता है। जिसे मुक्त चर और बाध्य चर भी कहा जाता है।)

विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) शब्द का संभाव्यता सिद्धांत में असंबंधित अर्थ है। इस कारण से संभाव्यता वादियों की सूची यहां लगभग विशेष रूप से परिभाषित फलन के लिए संकेतक फलन शब्द का उपयोग करती है। जबकि अन्य क्षेत्रों के गणितज्ञों द्वारा समूह में सदस्यता को इंगित करने वाले फलन का वर्णन करने के लिए विशिष्ट फलन $A$ शब्द का उपयोग करने की अधिक संभावना है।^{[lower-alpha 1]}

फजी लॉजिक और बहु-मूल्यवान तर्कशास्त्र में, विधेय संभाव्यता वितरण के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) हैं। अर्थात् विधेय के सख्त सच्चे / गलत मूल्यांकन को सत्य की डिग्री के रूप में व्याख्या की गई मात्रा से परिवर्तित कर दिया जाता है।

मूल गुण

कुछ समूह $X$ के उप-समुच्चय $A$ का संकेतक या विशिष्ट कार्य (गणित) $X$ के तत्वों को श्रेणी $\{0,1\}$ में मानचित्र करता है।

यह मानचित्रण केवल तभी आच्छादित होता है। जब $A$ , $X$ का गैर-खाली उचित उपसमुच्चय होता है। यदि $A\equiv X,$ तब $\mathbf {1} _{A}=1.$ इसी प्रकार के तर्क से यदि $A\equiv \emptyset$ तब $\mathbf {1} _{A}=0.$

निम्नलिखित में डॉट गुणन का प्रतिनिधित्व करता है। $1\cdot 1=1,$ $1\cdot 0=0,$ आदि "+" और "-" जोड़ और घटाव का प्रतिनिधित्व करते हैं। $\cap$ और $\cup$ क्रमशः चौराहे और संघ हैं।