मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा

गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित में, मैट्रिक्स निर्धारक लेम्मा एक व्युत्क्रम उलटा मैट्रिक्स (गणित) A और डाइएडिक उत्पाद, u के योग के निर्धारक की गणना करता है। में^T, एक स्तंभ सदिश (गणित) u और एक पंक्ति सदिश v का^{टी</सुप>.}

कथन

मान लीजिए A एक व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह है और u, v स्तंभ सदिश (ज्यामितीय) हैं। तब मैट्रिक्स निर्धारक लेम्मा बताता है कि

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.$

यहाँ, यू.वी^T दो सदिशों u और v का बाहरी गुणनफल है।

प्रमेय को ए के सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में भी कहा जा सकता है:

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,$

किस मामले में यह लागू होता है कि स्क्वायर मैट्रिक्स ए उलटा है या नहीं।

प्रमाण

पहले विशेष मामले का सबूत ए = मैं समानता से अनुसरण करता हूं:

${\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.$

बाईं ओर का निर्धारक तीन आव्यूहों के निर्धारकों का गुणनफल होता है। चूँकि पहला और तीसरा मैट्रिक्स इकाई विकर्ण के साथ त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं, उनके निर्धारक सिर्फ 1 हैं। मध्य मैट्रिक्स का निर्धारक हमारा वांछित मूल्य है। दाहिने हाथ की ओर का निर्धारक बस (1 + वी^{टीयू)। तो हमारे पास परिणाम है:}

$\det \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \right).$

तब सामान्य मामला इस प्रकार पाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right)\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\\&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\right).\end{aligned}}$

आवेदन

यदि A का निर्धारक और व्युत्क्रम पहले से ही ज्ञात हैं, तो सूत्र मैट्रिक्स uv द्वारा सही किए गए A के निर्धारक की गणना करने के लिए एक कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा तरीका प्रदान करता है।^{टी</सुप>. संगणना अपेक्षाकृत सस्ती है क्योंकि A + uv का निर्धारकT की शुरुआत से गणना करने की आवश्यकता नहीं है (जो सामान्य रूप से महंगा है)। यू और/या वी, व्यक्तिगत कॉलम, पंक्तियों या तत्वों के लिए यूनिट वैक्टर का उपयोग करना A का हेरफेर किया जा सकता है और इस तरह से अपेक्षाकृत सस्ते में एक समान रूप से अद्यतन निर्धारक की गणना की जाती है।}

जब मैट्रिक्स निर्धारक लेम्मा का उपयोग शर्मन-मॉरिसन सूत्र के संयोजन में किया जाता है, तो व्युत्क्रम और निर्धारक दोनों को आसानी से एक साथ अद्यतन किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

मान लीजिए A एक उलटा n-by-n मैट्रिक्स है और U, V n-by-m मैट्रिक्स हैं। तब

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A} ).$ विशेष मामले में $\mathbf {A} =\mathbf {I_{n}}$ यह वेनस्टाइन-एरोन्सजन पहचान है।

अतिरिक्त रूप से एक व्युत्क्रमणीय m-by-m मैट्रिक्स 'W' दिए जाने पर, संबंध को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A} \right).$

यह भी देखें

• शर्मन-मॉरिसन सूत्र, जो दिखाता है कि व्युत्क्रम को कैसे अद्यतन किया जाए, ए^-1, प्राप्त करने के लिए (A + uv^टी)^-1.
• वुडबरी मैट्रिक्स पहचान , जो दिखाता है कि व्युत्क्रम को कैसे अपडेट किया जाए, ए^-1, प्राप्त करने के लिए (A + UCV^टी)^-1.
• (ए + यूसीवी) के लिए द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय^टी)^-1.