एकल इंटीग्रल

गणित में, एकवचन अभिन्न हार्मोनिक विश्लेषण के लिए केंद्रीय होते हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए होते हैं। सामान्यतः एकवचन अभिन्न प्राकृतिक संकारक होते है I

$T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,$

जिसका कर्नेल कार्य K : Rⁿ×Rⁿ → R विकर्ण x = y के साथ गणितीय विलक्षणता है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|⁻ⁿ असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 है I चूंकि इस प्रकार के अभिन्न सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर अभिन्न की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, लेकिन व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः L^p(Rⁿ) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I

हिल्बर्ट रूपांतरण

Main article: हिल्बर्ट रूपांतरण

मूलप्ररूपी एकवचन अभिन्न संचालिका का हिल्बर्ट रूपांतरण H है। यह 'R' में x के लिए कर्नेल K(x) = 1/(πx) के विरुद्ध कनवल्शन द्वारा दिया गया है।

$H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.$

इनमें से सीधा उच्च आयाम एनालॉग्स रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म हैं, जो K(x) = 1/x को प्रतिस्थापित करते हैं:-

$K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}$

जहां i = 1, …, n और $x_{i}$ 'Rⁿ' में x का i-वाँ घटक है I ये सभी ऑपरेटर L^p पर बंधे होते हैं, और (1, 1) अनुमानों को संतुष्ट करते हैं।

कनवल्शन टाइप का एकवचन इंटीग्रल

Main article: Singular integral operators of convolution type

कनवल्शन टाइप का एक सिंगुलर इंटीग्रल एक ऑपरेटर T है जिसे कर्नेल K के साथ कनवल्शन द्वारा परिभाषित किया गया है जो कि 'R' पर स्थानीय रूप स्थानीय रूप से एकीकृत समारोह है।ⁿ\{0}, इस अर्थ में कि

$T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y-x|>\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.$

(1)

मान लीजिए कि कर्नेल संतुष्ट करता है:

1. K के फूरियर रूपांतरण पर आकार की स्थिति

   ${\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})$

2. चिकनाई की स्थिति: कुछ C > 0 के लिए,

   $\sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.$

तब यह दिखाया जा सकता है कि T, L पर परिबद्ध है^पी('आर'ⁿ) और कमजोर-प्रकार (1, 1) अनुमान को संतुष्ट करता है।

संपत्ति 1. यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि कनवल्शन (1) वितरण के साथ (गणित) # टेम्पर्ड वितरण और फूरियर ट्रांसफॉर्म पी.वी. K कॉची प्रिंसिपल वैल्यू द्वारा दिया गया

$\operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx$

एल पर एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर गुणक है^{2</उप>। गुणों में से कोई भी 1. या 2. आवश्यक रूप से सत्यापित करना आसान नहीं है, और विभिन्न प्रकार की पर्याप्त शर्तें मौजूद हैं। आम तौर पर अनुप्रयोगों में, रद्द करने की स्थिति भी होती है}

$\int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0$

जिसे चेक करना काफी आसान है। यह स्वचालित है, उदाहरण के लिए, यदि K एक विषम फलन है। यदि, इसके अलावा, कोई 2. और निम्न आकार की स्थिति मानता है

$\sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,$

तो यह दिखाया जा सकता है कि 1. अनुसरण करता है।

चिकनाई की स्थित