एरलांग वितरण

This article is about गणितीय / सांख्यिकीय वितरण अवधारणा. For other uses, see एरलांग.

Erlang

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$k\in \{1,2,3,\ldots \},$ shape $\lambda \in (0,\infty ),$ rate alt.: $\beta =1/\lambda ,$ scale
Support	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}$
CDF	$P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}$
Mean	${\frac {k}{\lambda }}$
Median	No simple closed form
Mode	${\frac {1}{\lambda }}(k-1)$
Variance	${\frac {k}{\lambda ^{2}}}$
Skewness	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Ex. kurtosis	${\frac {6}{k}}$
Entropy	$(1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k$
MGF	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}$ for $t<\lambda$
CF	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}$

एरलांग वितरण समर्थन (गणित) $x\in [0,\infty )$ के साथ निरंतर प्रायिकता वितरण का दो-पैरामीटर परिवार है। दो पैरामीटर हैं:

• एक सकारात्मक पूर्णांक $k,$ आकार, और
• एक सकारात्मक वास्तविक संख्या $\lambda ,$ ''दर'' । "स्केल", $\beta ,$ दर का पारस्परिक, कभी-कभी इसके बदले प्रयोग किया जाता है।

एरलांग वितरण प्रत्येक $1/\lambda$ माध्य के साथ $k$ स्वतंत्रत घातीय चर के योग का वितरण है। समतुल्य रूप से, यह $\lambda$ की दर के साथ प्वाइजन प्रक्रिया की k वीं घटना तक के समय का वितरण है। एरलांग और प्वाइजन वितरण पूरक हैं, जबकि प्वाइजन वितरण निश्चित समय में होने वाली घटनाओं की संख्या की गणना करता है, एरलांग वितरण घटनाओं की एक निश्चित संख्या की घटना तक समय की मात्रा की गणना करता है। कब $k=1$, वितरण घातीय वितरण के लिए सरल हो जाता है। एरलांग वितरण गामा वितरण का एक विशेष प्रकरण है जिसमें वितरण का आकार अलग-अलग होता है।

एरलांग वितरण को A. K. एरलांग द्वारा विकसित किया गया था ताकि स्विचिंग स्टेशनों के संचालक को एक ही समय में किए जाने वाले टेलीफोन कॉल की संख्या की जांच की जा सके। सामान्यतः क्यूइंग प्रणाली में प्रतीक्षा समय पर विचार करने के लिए टेलीफोन ट्रैफ़िक अभियांत्रिकी पर यह काम विस्तारित किया गया है। वितरण का उपयोग प्रसंभाव्य प्रक्रम के क्षेत्र में भी किया जाता है।

विशेषता

प्रायिकता घनत्व फलन

एरलांग वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन है

$f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,$

पैरामीटर k को आकार पैरामीटर और पैरामीटर कहा जाता है $\lambda$ को दर पैरामीटर कहा जाता है।

एक वैकल्पिक, लेकिन समतुल्य, प्राचलीकरण स्केल पैरामीटर $\beta$