ट्रेस क्लास

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, एक ट्रेसी क्लास ऑपरेटर रैखिक ऑपरेटर होता है, जिसके लिए ट्रेस (रैखिक बीजगणित) परिभाषित किया जा सकता है, इस प्रकार ट्रेस आधार के चयन से स्वतंत्र एक परिमित संख्या है जिसका प्रयोग ट्रेस के गणना हेतु होता है। ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का यह निशान रेखीय बीजगणित में अध्ययन किए गए मेट्रिसेस के ट्रेस को सामान्य करता है, सभी ट्रेस-क्लास ऑपरेटर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, मिश्रित अवस्था (भौतिकी) को घनत्व मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जाता है, जो निश्चित ट्रेस क्लास ऑपरेटर हैं।

ट्रेस-क्लास ऑपरेटर अनिवार्य रूप से परमाणु ऑपरेटरों के समान हैं, चूंकि कई लेखक हिल्बर्ट स्पेस पर परमाणु ऑपरेटरों के विशेष स्थितिे के लिए ट्रेस-क्लास ऑपरेटर शब्द आरक्षित करते हैं और परमाणु ऑपरेटर शब्द का उपयोग अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (जैसे बानाच रिक्त स्थान) में किया जाता है।

ध्यान दें कि आंशिक अंतर समीकरणों में अध्ययन किया गया ट्रेस ऑपरेटर एक असंबंधित अवधारणा है।

परिभाषा

मान लीजिए $H$ एक हिल्बर्ट स्पेस है और $A:H\to H$, $H$ पर एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है जो गैर-नकारात्मक ( अर्थात, अर्ध सकारात्मक-डेफिनिट) और सेल्फ-एडजॉइंट है। $\operatorname {Tr} A,$ द्वारा निरूपित $A$ ट्रेस श्रृंखला का योग होता है

$$\operatorname {Tr} A=\sum _{k}\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,$$

जहाँ $\left(e_{k}\right)_{k}$ का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार $H$ है, यह दिखाया जा सकता है कि यह जटिल संख्याओं की एक पूर्ण अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। $H,$ पर मनमाने ढंग से परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर $T:H\to H$ के लिए, हम $|T|$ द्वारा निरूपित $T^{*}T,$ का सकारात्मक वर्गमूल होने के लिए इसके पूर्ण मान को परिभाषित करते हैं। अर्थात, $|T|:={\sqrt {T^{*}T}}$ ,$H$ पर यूनीक बाउंडेड सकारात्मक ऑपरेटर है जैसे कि $|T|\circ |T|=T^{*}\circ T$ ऑपरेटर $T:H\to H$ को ट्रेस क्लास में कहा जाता है यदि $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty$ है तो हम H पर सभी ट्रेस क्लास रैखिक ऑपरेटरों के स्थान को $B_{1}(H)$ द्वारा निरूपित करते हैं। (कोई दिखा सकता है कि यह वास्तव में एक सदिश स्थान है।)

यदि $T$ ट्रेस क्लास में है, तो $T$ द्वारा हम ट्रेस को परिभाषित करते हैं,

$$\operatorname {Tr} T=\sum _{k}\left\langle Te_{k},e_{k}\right\rangle ,$$

जहाँ $\left(e_{k}\right)_{k}$ का एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार $H$ है, यह दिखाया जा सकता है कि यह जटिल संख्याओं की एक पूरी प्रकार से अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

जब H परिमित-आयामी होता है, तो प्रत्येक ऑपरेटर ट्रेस क्लास होता है और T के ट्रेस (मैट्रिक्स) की यह परिभाषा मैट्रिक्स के ट्रेस की परिभाषा के साथ मेल खाती है।

समकक्ष फॉर्मूलेशन

एक सीमित रैखिक ऑपरेटर $T:H\to H$ को देखते हुए, निम्न में से प्रत्येक कथन $T$ के ट्रेस क्लास में होने के बराबर है:

• $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty$
• H के कुछ ऑर्थोनॉर्मल आधार $\left(e_{k}\right)_{k}$ के लिए, धनात्मक पदों का योग ${\textstyle \sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$ परिमित है।
• H के प्रत्येक ऑर्थोनॉर्मल आधार $\left(e_{k}\right)_{k}$ के लिए, धनात्मक पदों का योग ${\textstyle \sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$ परिमित है।
• T एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है और ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }s_{i}<\infty ,}$ जहां $s_{1},s_{2},\ldots$ हैं $|T|$ के आइगेनवैल्यू (T के एकवचन मूल्यों के रूप में भी जाना जाता है) प्रत्येक ईगेनवेल्यू को अधिकांशतः इसकी बहुलता के रूप में दोहराया जाता है।
• दो ऑर्थोगोनल (गणित) क्रम उपलब्ध हैं $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ और $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $H$ में और एक क्रम ${\left({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$