ट्रेस क्लास

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, एक ट्रेस-क्लास ऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर होता है जिसके लिए एक ट्रेस (रैखिक बीजगणित) परिभाषित किया जा सकता है, जैसे ट्रेस एक परिमित संख्या है जो ट्रेस की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले आधार की पसंद से स्वतंत्र है। ट्रेस-क्लास ऑपरेटरों का यह निशान रेखीय बीजगणित में अध्ययन किए गए मेट्रिसेस के ट्रेस को सामान्य करता है। सभी ट्रेस-क्लास ऑपरेटर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, मिश्रित अवस्था (भौतिकी) का वर्णन घनत्व मैट्रिक्स द्वारा किया जाता है, जो निश्चित ट्रेस क्लास ऑपरेटर हैं।

ट्रेस-क्लास ऑपरेटर अनिवार्य रूप से परमाणु ऑपरेटरों के समान हैं, चूंकि कई लेखक हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर परमाणु ऑपरेटरों के विशेष स्थितिे के लिए ट्रेस-क्लास ऑपरेटर शब्द आरक्षित करते हैं और परमाणु ऑपरेटर शब्द का उपयोग अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थान (जैसे बानाच रिक्त स्थान) में करते हैं।

ध्यान दें कि आंशिक अंतर समीकरणों में अध्ययन किया गया ट्रेस ऑपरेटर एक असंबंधित अवधारणा है।

परिभाषा

मान लीजिए $H$ एक हिल्बर्ट स्पेस है और $A:H\to H$, $H$ पर एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है जो नॉन-नेगेटिव (यानी, सेमी-पॉजिटिव-डेफिनिट) और सेल्फ-एडजॉइंट है। $\operatorname {Tr} A,$ द्वारा निरूपित $A$ का ट्रेस श्रृंखला का योग है

$$\operatorname {Tr} A=\sum _{k}\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,$$

जहाँ $\left(e_{k}\right)_{k}$ $H$ का एक अलौकिक आधार है। ट्रेस गैर-नकारात्मक वास्तविक पर एक योग है और इसलिए एक गैर-नकारात्मक वास्तविक या अनंत है। यह दिखाया जा सकता है कि ट्रेस ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। एक मनमाने ढंग से परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर के लिए $T:H\to H$ पर $H,$ हम इसके पूर्ण मूल्य को परिभाषित करते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है $|T|,$ मैट्रिक्स का धनात्मक वर्गमूल होना के धनात्मक संकारकों का वर्गमूल $T^{*}T,$ वह है, $|T|:={\sqrt {T^{*}T}}$ यूनीक बाउंडेड सकारात्मक ऑपरेटर ऑन है $H$ ऐसा है कि $|T|\circ |T|=T^{*}\circ T.$ परिचालक $T:H\to H$ कहा जाता है $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty$ कि यदि ट्रेस क्लास में है, हम सभी ट्रेस क्लास रैखिक ऑपरेटरों के स्थान को H द्वारा $B_{1}(H)$ निरूपित करते हैं, (कोई दिखा सकता है कि यह वास्तव में एक सदिश स्थान है।)

यदि $T$ ट्रेस क्लास में है, तो $T$ द्वारा हम ट्रेस को परिभाषित करते हैं

$$\operatorname {Tr} T=\sum _{k}\left\langle Te_{k},e_{k}\right\rangle ,$$

जहाँ $\left(e_{k}\right)_{k}$ का एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार $H$ है, यह दिखाया जा सकता है कि यह जटिल संख्याओं की एक पूर्ण अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग ऑर्थोनॉर्मल आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

कब H परिमित-आयामी है, प्रत्येक ऑपरेटर ट्रेस क्लास है और यह ट्रेस की परिभाषा है T ट्रेस (मैट्रिक्स) की परिभाषा के साथ मेल खाता है।

समकक्ष फॉर्मूलेशन

एक परिबद्ध रैखिक संकारक दिया गया है $T:H\to H$, निम्नलिखित में से प्रत्येक बयान के बराबर है $T$ ट्रेस क्लास में होना:

• $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty$
• सोम्मे ऑर्थोनॉर्मल बेसिस के लिए $\left(e_{k}\right)_{k}$ का H, धनात्मक पदों का योग ${\textstyle \sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$ परिमित है।
• हर अलौकिक आधार के लिए $\left(e_{k}\right)_{k}$ का H, धनात्मक पदों का योग ${\textstyle \sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$ परिमित है।
• T एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है और ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }s_{i}<\infty ,}$ जहाँ $s_{1},s_{2},\ldots$ के आइगेनवैल्यू हैं $|T|$ (के एकवचन मान के रूप में भी जाना जाता है T) प्रत्येक आइगेनवैल्यू के साथ जितनी बार इसकी बहुलता दोहराई जाती है।
• दो ऑर्थोगोनल (गणित) क्रम उपलब्ध हैं $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ और $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ में $H$ और एक क्रम ${({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{}}_{}^{}$