आइसिंग मॉडल

ईईज़िंग मॉडल (जर्मन उच्चारण: [iːzɪŋ]) (या लेन्ज़-आइज़िंग मॉडल या इस्सिंग-लेनज़ मॉडल), जिसका नाम भौतिकविदों अर्नस्ट इस्सिंग और विल्हेम लेन्ज़ के नाम पर रखा गया है, सांख्यिकीय यांत्रिकी में लोह-चुंबकत्व का एक गणितीय मॉडल है। मॉडल में असतत चर होते हैं जो परमाणु "प्रचक्रण" के चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षणों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो दो स्थितियों (+1 या -1) में से एक में हो सकते हैं। प्रचक्रण (स्पिन) को एक ग्राफ में व्यवस्थित किया जाता है, सामान्य रूप से लैटिस (जहां स्थानीय संरचना सभी दिशाओं में समय-समय पर पुनरावृत करती है), जिससे प्रत्येक प्रचक्रण अपने प्रतिवेशों के साथ संपर्क कर सके। प्रतिवेशी प्रचक्रण जो सहमत हैं उनमें असहमत होने वालों की तुलना में कम ऊर्जा होती है; सिस्टम सबसे कम ऊर्जा की ओर जाता है लेकिन ऊष्मा इस प्रवृत्ति को विक्षुब्ध करती है, इस प्रकार विभिन्न संरचनात्मक चरणों की संभावना उत्पन्न करती है। मॉडल वास्तविकता के सरलीकृत मॉडल के रूप में प्रावस्था संक्रमण की पहचान की स्वीकृति देता है। प्रावस्था संक्रमण दिखाने के लिए द्वि-आयामी वर्ग-लैटिस आइसिंग मॉडल सबसे सरल सांख्यिकीय मॉडल में से एक है।

ईज़िंग मॉडल का आविष्कार भौतिक विज्ञानी विल्हेम लेन्ज़ (1920) द्वारा किया गया था, जिन्होंने इसे अपने छात्र अर्न्स्ट इस्सिंग को एक समस्या के रूप में दिया था। एक आयामी ईज़िंग मॉडल को ईज़िंग (1925) ने अकेले 1924 की अपनी अभिधारणा में संशोधन किया था; इसका कोई प्रावस्था संक्रमण नहीं है। द्वि-आयामी वर्ग-लैटिस ईज़िंग मॉडल बहुत कठिन है और लार्स ऑनसेगर (1944) द्वारा केवल एक विश्लेषणात्मक विवरण दिया गया था। यह सामान्य रूप से स्थानांतरण-मैट्रिक्स विधि द्वारा संशोधन किया जाता है, हालांकि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से संबंधित विभिन्न दृष्टिकोण सम्मिलित हैं।

चार से अधिक आयामों में, ईज़िंग मॉडल के प्रावस्था संक्रमण को माध्य-क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया गया है। 1970 के दशक के उत्तरार्ध में विभिन्न ट्री सांस्थिति के संबंध में अधिक आयामों के लिए ईज़िंग मॉडल का भी पता लगाया गया, जो जो शून्य-क्षेत्र समय-स्वतंत्र बर्थ (1981) मॉडल के परिशुद्ध समाधान के रूप में यादृच्छिक शाखाओं के अनुपात के संवृत केली ट्री के लिए और इस तरह ट्री शाखाओं के अंदर यादृच्छिक रूप से बड़ी आयामीता का पता लगाया गया था। इस मॉडल के समाधान ने गैर-लुप्त होने वाली लंबी दूरी और निकटतम-प्रतिवेशी प्रचक्रण-प्रचक्रण सहसंबंधों के साथ एक नया, असामान्य प्रावस्था संक्रमण व्यवहार प्रदर्शित किया, जो इसके संभावित अनुप्रयोगों में से एक के रूप में बड़े तंत्रिका नेटवर्क के लिए प्रासंगिक माना जाता है।

बाहरी क्षेत्र के बिना ईज़िंग समस्या को समतुल्य रूप से एक ग्राफ़ (असतत गणित) अधिकतम विभाजन (मैक्स-विभाजन) समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है जिसे संयोजी अनुकूलन के माध्यम से संशोधन किया जा सकता है।

परिभाषा

लैटिस भागों के समुच्चय $\Lambda$ , पर विचार करें, प्रत्येक आसन्न भागों के समुच्चय के साथ (जैसे एक ग्राफ (असतत गणित)) एक बनाने $d$-आयामी लैटिस का निर्माण करता है। प्रत्येक लैटिस भाग के लिए $k\in \Lambda$ एक असतत चर $\sigma _{k}$ है जैसे कि $\sigma _{k}\in \{-1,+1\}$, भाग के प्रचक्रण का प्रतिनिधित्व करता है। प्रचक्रण विन्यास, ${\sigma }=\{\sigma _{k}\}_{k\in \Lambda }$ प्रत्येक लैटिस भाग के लिए प्रचक्रण मान का एक निर्दिष्टीकरण है।

किसी भी दो आसन्न भागों $i,j\in \Lambda$ के लिए अंतःक्रिया $J_{ij}$ होती है। साथ ही एक भाग $j\in \Lambda$ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $h_{j}$ है। जो इसके साथ परस्पर क्रिया करता है। विन्यास की ऊर्जा ${\sigma }$ हैमिल्टनीय फलन द्वारा दी गई है

$H(\sigma )=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j},$

जहां पहला योग आसन्न प्रचक्रण के जोड़े पर है (प्रत्येक जोड़ी को एक बार गिना जाता है)। संकेतन $\langle ij\rangle$ भागों को इंगित करता है कि भाग $i$ और $j$ निकटतम प्रतिवेशी हैं। चुंबकीय क्षण $\mu$ द्वारा दिया जाता है ध्यान दें कि उपरोक्त हैमिल्टनियन के दूसरे पद में संकेत वास्तव में धनात्मक होना चाहिए क्योंकि इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय क्षण इसके प्रचक्रण के समानांतर है, लेकिन ऋणात्मक पद पारंपरिक रूप से प्रयोग किया जाता है। अभिविन्यास की संभावना बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा व्युत्क्रम तापमान $\beta \geq 0$ के साथ दी गई है:

$P_{\beta }(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}},$

जहाँ $\beta =(k_{\rm {B}}T)^{-1}$, और सामान्यीकरण स्थिरांक

$Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}$

विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। फलन के लिए स्पिन की संख्या (देखने योग्य), $f$ द्वारा इंगित करता है

${⟨<!--\; ⟨\; -->f⟩<!--\; ⟩\; -->}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}$