दोलन

"Oscillator" redirects here. For other uses, see Oscillator (disambiguation).

स्प्रिंग -मास सिस्टम एक दोलन प्रणाली है

दोलन दोहराव या आवधिक भिन्नता है, आमतौर पर समय में, एक केंद्रीय मूल्य (अक्सर संतुलन का एक बिंदु) या दो या अधिक अलग -अलग राज्यों के बारे में कुछ माप।दोलन के परिचित उदाहरणों में एक झूलते हुए पेंडुलम और वैकल्पिक वर्तमान शामिल हैं।दोलनों का उपयोग भौतिकी में जटिल बातचीत के लिए अनुमानित किया जा सकता है, जैसे कि परमाणुओं के बीच।

दोलन न केवल यांत्रिक प्रणालियों में, बल्कि विज्ञान के लगभग हर क्षेत्र में गतिशील प्रणालियों में भी होते हैं: उदाहरण के लिए मानव हृदय की धड़कन (परिसंचरण के लिए), अर्थशास्त्र में व्यापार चक्र, पारिस्थितिकी में शिकारी -पूर्व जनसंख्या चक्र, भूविज्ञान में भूतापीय गीजर, भूगर्दी में जियोथर्मल गीजर,गिटार और अन्य स्ट्रिंग उपकरणों में स्ट्रिंग्स का कंपन, मस्तिष्क में तंत्रिका कोशिकाओं की आवधिक फायरिंग, और खगोल विज्ञान में सेफिड चर सितारों की आवधिक सूजन।शब्द कंपन का उपयोग एक यांत्रिक दोलन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

सरल हार्मोनिक

Main article: Simple harmonic motion

सबसे सरल यांत्रिक दोलन प्रणाली केवल वजन और तनाव के लिए एक रैखिक वसंत से जुड़ी एक वजन है। इस तरह की प्रणाली को एक हवा की मेज या बर्फ की सतह पर अनुमानित किया जा सकता है। सिस्टम एक संतुलन अवस्था में है जब वसंत स्थिर होता है। यदि सिस्टम को संतुलन से विस्थापित किया जाता है, तो द्रव्यमान पर एक शुद्ध बहाल बल होता है, इसे संतुलन में वापस लाने के लिए प्रवृत्त होता है। हालांकि, द्रव्यमान को संतुलन की स्थिति में वापस ले जाने में, इसने गति का अधिग्रहण कर लिया है जो इसे उस स्थिति से आगे बढ़ता रहता है, विपरीत अर्थों में एक नया बहाल बल स्थापित करता है। यदि एक निरंतर बल जैसे कि गुरुत्वाकर्षण को सिस्टम में जोड़ा जाता है, तो संतुलन के बिंदु को स्थानांतरित कर दिया जाता है। एक दोलन होने के लिए लिया गया समय अक्सर दोलन अवधि के रूप में संदर्भित किया जाता है।

जिन प्रणालियों में एक शरीर पर पुनर्स्थापना बल सीधे उसके विस्थापन के लिए आनुपातिक है, जैसे कि स्प्रिंग-मास सिस्टम की गतिशीलता, सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर द्वारा गणितीय रूप से वर्णित की जाती है और नियमित आवधिक गति को सरल हार्मोनिक गति के रूप में जाना जाता है। वसंत-द्रव्यमान प्रणाली में, दोलन होते हैं, क्योंकि स्थैतिक संतुलन विस्थापन में, द्रव्यमान में गतिज ऊर्जा होती है जिसे अपने पथ के चरम पर वसंत में संग्रहीत संभावित ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है। स्प्रिंग-मास सिस्टम दोलन की कुछ सामान्य विशेषताओं को दिखाता है, अर्थात् एक संतुलन का अस्तित्व और एक बहाल बल की उपस्थिति जो आगे मजबूत होती है सिस्टम को संतुलन से विचलित कर देता है।

स्प्रिंग-मास सिस्टम के मामले में, हुक के नियम में कहा गया है कि एक वसंत का बहाल बल है:

$F=-kx$ न्यूटन के दूसरे कानून का उपयोग करके, अंतर समीकरण प्राप्त किया जा सकता है।

${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$,

कहाँ पे $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ इस अंतर समीकरण का समाधान एक साइनसोइडल स्थिति फ़ंक्शन का उत्पादन करता है।

$x(t)=A\cos(\omega t-\delta )$ जहां ost दोलन की आवृत्ति है, ए आयाम है, और fack फ़ंक्शन की चरण पारी है।ये सिस्टम की प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं।क्योंकि कोसाइन 1 और -1 के बीच असीम रूप से दोलन करता है, हमारा स्प्रिंग -मास सिस्टम घर्षण के बिना हमेशा के लिए सकारात्मक और नकारात्मक आयाम के बीच दोलन करेगा।

दो-आयामी ऑसिलेटर

दो या तीन आयामों में, हार्मोनिक ऑसिलेटर एक आयाम के समान व्यवहार करते हैं।इसका सबसे सरल उदाहरण एक आइसोट्रोपिक ऑसिलेटर है, जहां पुनर्स्थापना बल सभी दिशाओं में समान पुनर्स्थापनात्मक स्थिरांक के साथ संतुलन से विस्थापन के लिए आनुपातिक है।

$F=-k{\vec {r}}$ यह एक समान समाधान पैदा करता है, लेकिन अब हर दिशा के लिए एक अलग समीकरण है।

$x(t)=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x})$,

$y(t)=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y})$,

[...]

अनिसोट्रोपिक ऑसिलेटर

अनिसोट्रोपिक ऑसिलेटर के साथ, विभिन्न दिशाओं में बलों को बहाल करने के अलग -अलग स्थिरांक होते हैं।समाधान आइसोट्रोपिक ऑसिलेटर के समान है, लेकिन प्रत्येक दिशा में एक अलग आवृत्ति है।एक दूसरे के सापेक्ष आवृत्तियों को अलग -अलग करना दिलचस्प परिणाम पैदा कर सकता है।उदाहरण के लिए, यदि एक दिशा में आवृत्ति दूसरे से दोगुनी है, तो एक आकृति आठ पैटर्न का उत्पादन किया जाता है।यदि आवृत्तियों का अनुपात तर्कहीन है, तो गति quasiperiodic है।यह गति प्रत्येक अक्ष पर आवधिक है, लेकिन आर के संबंध में आवधिक नहीं है, और कभी भी नहीं दोहराएगा।

नम दोलन

Main article: Harmonic oscillator

See also: Anti-vibration compound

सभी वास्तविक दुनिया के थरथरानवाला सिस्टम थर्मोडायनामिक रूप से अपरिवर्तनीय हैं।इसका मतलब यह है कि घर्षण या विद्युत प्रतिरोध जैसी विघटनकारी प्रक्रियाएं हैं जो ऑसिलेटर में संग्रहीत कुछ ऊर्जा को लगातार पर्यावरण में गर्मी में बदल देती हैं।इसे भिगोना कहा जाता है।इस प्रकार, दोलन समय के साथ क्षय हो जाते हैं जब तक कि सिस्टम में ऊर्जा का कुछ शुद्ध स्रोत न हो।इस क्षय प्रक्रिया का सबसे सरल विवरण हार्मोनिक ऑसिलेटर के दोलन क्षय द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

जब एक प्रतिरोधक बल पेश किया जाता है, तो नम ऑसिलेटर बनाए जाते हैं, जो स्थिति के पहले व्युत्पन्न पर निर्भर होता है, या इस मामले में वेग होता है।न्यूटन के दूसरे कानून द्वारा बनाया गया अंतर समीकरण इस प्रतिरोधक बल में एक मनमाना निरंतर बी के साथ जोड़ता है।यह उदाहरण वेग पर एक रैखिक निर्भरता मानता है।

$m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0$ इस समीकरण को पहले की तरह फिर से लिखा जा सकता है।

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$,

कहाँ पे $2\beta ={\frac {b}{m}}$ यह सामान्य समाधान का उत्पादन करता है:

$x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$,

कहाँ पे $\omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$ कोष्ठक के बाहर घातीय शब्द क्षय फ़ंक्शन है और of भिगोना गुणांक है।नम ऑसिलेटर की 3 श्रेणियां हैं: अंडर-डंप, जहां ω <ω₀;ओवर-डंप, जहां β> ω₀;और गंभीर रूप से नम, जहां β = ω₀।

संचालित दोलन

इसके अलावा, एक दोलन प्रणाली कुछ बाहरी बल के अधीन हो सकती है, जब एक एसी सर्किट एक बाहरी बिजली स्रोत से जुड़ा होता है।इस मामले में दोलन को संचालित कहा जाता है।

इसका सबसे सरल उदाहरण साइनसोइडल ड्राइविंग बल के साथ स्प्रिंग-मास सिस्टम है।

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t)$, कहाँ पे $f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta )$ यह समाधान देता है:

$x(t$