न्यूटन बहुपद

संख्यात्मक विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, एक न्यूटन बहुपद, जिसका नाम इसके आविष्कारक आइजैक न्यूटन के नाम पर रखा गया है, डेटा बिंदुओं के दिए गए सेट के लिए एक बहुपद प्रक्षेप बहुपद है। न्यूटन बहुपद को कभी-कभी न्यूटन का विभाजित अंतर अंतर्वेशन बहुपद कहा जाता है क्योंकि बहुपद के गुणांकों की गणना न्यूटन की विभाजित अंतर विधि का उपयोग करके की जाती है।

परिभाषा

k+1 डेटा बिंदुओं का एक सेट दिया गया है

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

जहां कोई दो एक्स नहीं है_j समान हैं, न्यूटन प्रक्षेप बहुपद न्यूटन आधारित बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है

$N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)$

न्यूटन आधार बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया

$n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})$

जे > 0 और के लिए $n_{0}(x)\equiv 1$.

गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है

$a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]$

कहाँ

$[y_{0},\ldots ,y_{j}]$

विभाजित मतभेदों के लिए अंकन है।

इस प्रकार न्यूटन बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).$

न्यूटन आगे विभाजित अंतर सूत्र

न्यूटन बहुपद को सरलीकृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है जब $x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}$ समान दूरी के साथ क्रमिक रूप से व्यवस्थित हैं। अंकन का परिचय

$h=x_{i+1}-x_{i}$ प्रत्येक के लिए $i=0,1,\dots ,k-1$

और $x=x_{0}+sh$, के अंतर $x-x_{i}$ रूप में लिखा जा सकता है $(s-i)h$. तो न्यूटन बहुपद बन जाता है

$\begin{array}{rl}N(x)& =[y_0]+[y_0,y_1]sh+\cdots <!--\; \cdots \; -->+[y_0,\dots <!--\; \dots \; -->,y_k]s(s-<!--\; -\; -->1)\cdots <!--\; \cdots \; -->(s-<!--\; -\; -->k+1)h^k\\ & =\underset{i=0}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}s(s-<!--\; -\; -->1)\cdots <!--\; \cdots \; -->(s-<!--\; -\; -->i+1)\end{array}$