हार तरंगिका

बाल तरंगिका

गणित में, हार तरंगिका पुनर्वर्धित वर्ग-आकार के फलनों का क्रम है जो एक साथ तरंगिका परिवार या आधार बनाते हैं। तरंगिका विश्लेषण फूरियर विश्लेषण के समान है जिसमें यह अंतराल पर लक्ष्य फलन को ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। हार अनुक्रम अब पहले ज्ञात तरंगिका आधार के रूप में पहचाना जाता है और बड़े पैमाने पर शिक्षण उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है।

1909 में अल्फ्रेड हार द्वारा हार अनुक्रम प्रस्तावित किया गया था। हार ने इन फलनों का उपयोग इकाई अंतराल [0, 1] पर वर्ग-पूर्णांक फलनों के स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली का उदाहरण देने के लिए किया था। तरंगिकाओं का अध्ययन, और यहां तक ​​कि तरंगिका शब्द भी बहुत बाद तक नहीं आया था था। डोबेचीज तरंगिका के एक विशेष स्थिति के रूप में, हार तरंगिका को Db1 के रूप में भी जाना जाता है।

हर तरंगिका भी सबसे सरल संभव तरंगिका है। हर तरंगिका का प्रौद्योगिक हानि यह है कि यह निरंतर फलन नहीं करता है, और इसलिए व्युत्पन्न नहीं है। हालांकि, यह गुण अचानक संक्रमण (डिजिटल सिग्नल (सिग्नल प्रोसेसिंग)), जैसे मशीनों में उपकरण की विफलता की निगरानी के साथ संकेतों के विश्लेषण के लिए लाभ हो सकती है।

हर तरंगिका का मदर तरंगिका फलन $\psi (t)$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है

$\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

इसके स्केलिंग फलन $\varphi (t)$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है

$\varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

हार फलन और हार प्रणाली

$\mathbb {Z}$ में पूर्णांकों की प्रत्येक जोड़ी n, k के लिए, हार फलन ψ'n,k को सूत्र द्वारा वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ पर परिभाषित किया गया है

$\psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbb {R} .$

यह फलन अर्ध-खुला अंतराल I_n,k = [ k2⁻ⁿ, (k+1)2⁻ⁿ) पर समर्थित है, अर्थात्, यह उस अंतराल के बाहर किसी फलन का शून्य है। हिल्बर्ट स्पेस L²($\mathbb {R}$) में इसका इंटीग्रल 0 और नॉर्म 1 है,

$\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.$

हार फलन युग्‍मानूसार लंबकोणीय फलन हैं,

$\int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},$

जहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा का प्रतिनिधित्व करता है। यहाँ रूढ़िवादिता का कारण है: जब दो सहायक अंतराल $I_{n_{1},k_{1}}$ और $I_{n_{2},k_{2}}$ समान नहीं होते हैं, तो वे या तो अलग हो जाते हैं, या फिर दो में से छोटा समर्थन करता है, मान लीजिए $I_{n_{1},k_{1}}$, दूसरे अंतराल के निचले या ऊपरी भाग में समाहित है, जिस पर फलन $\psi _{n_{2},k_{2}}$ स्थिर रहता है। इस स्थिति में यह इस प्रकार है कि इन दो हार फलनों का उत्पाद पहले हार फलन का गुणक है, इसलिए उत्पाद का पूर्णांक 0 है।

वास्तविक रेखा पर हार प्रणाली फलनों का समूह है

$\{1\}\cup \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.$

यह L²($\mathbb {R}$) में ऑर्थोनॉर्मल आधार है: लाइन पर हार प्रणाली L²($\mathbb {R}$) में असामान्य आधार है।

हर तरंगिका गुण

हर तरंगिका में कई उल्लेखनीय गुण हैं:

1. कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ किसी भी निरंतर वास्तविक कार्य को रैखिक संयोजन$$