बहुपद एसओएस

This article is about यह लेख गैर-ऋणात्मक बहुपद को बहुपदों के वर्गों के योग के रूप में प्रस्तुत करने के बारे में है।. For तर्कसंगत कार्यों के वर्गों के योग के रूप में बहुपद का प्रतिनिधित्व करने के लिए है, see हिल्बर्ट की सत्रहवीं समस्या. For लगातार पूर्णांकों के वर्गों का योग, see वर्ग पिरामिड संख्या. For पूर्णांकों के वर्गों के योग के रूप में एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करना है।, see लैग्रेंज का चार वर्ग प्रमेय.

गणित में, वास्तविक संख्या n आयामी सदिश x में बहुपद की डिग्री 2m का एक सजातीय बहुपद h(x) के रूप (एसओएस) के वर्गों का योग होता है और यदि केवल डिग्री एम के $g_{1}(x),\ldots ,g_{k}(x)$ के रूप में उपस्थित होती है। जैसे कि,

$$h(x)=\sum _{i=1}^{k}g_{i}(x)^{2}.$$

एसओएस का हर रूप एक सकारात्मक बहुपद के रूप में होता है और चूंकि विलोम (तर्क) हमेशा सत्य नहीं होता है, हिल्बर्ट ने सिद्ध किया कि एन = 2, 2 एम = 2 या एन = 3 और 2 एम = 4 के लिए एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि यह सकारात्मक होता है। सकारात्मक सममित रूपों पर एनालॉग समस्या के लिए भी यही मान्य होता है।

चूंकि प्रत्येक फॉर्म को एसओएस के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, एसओएस होने के लिए एक फॉर्म के लिए स्पष्ट पर्याप्त शर्तें पाई गई हैं। इसके अतिरिक्त, हर वास्तविक गैर-नकारात्मक रूप को वांछित के रूप में निकटता से अनुमानित किया जाता है $l_{1}$इसके गुणांक वेक्टर का मानदंड रूपों के अनुक्रम द्वारा $\{f_{\epsilon }\}$ एसओएस के रूप में हैं।

वर्ग मैट्रिकियल प्रतिनिधित्व (एसएमआर)

यह स्थापित करने के लिए कि क्या एक फॉर्म h(x) उत्तल अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एसओएस राशि के रूप में होती है। वास्तव में, इसे h(x) के रूप में लिखा जा सकता है

$$h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}$$

जहाँ $x^{\{m\}}$ एक वेक्टर होता है, जिसमें एक्स में डिग्री एम के रूपों के आधार पर होता है, जैसे कि एक्स में डिग्री एम के सभी एकपद , प्राइम, अभाज्य स्थानान्तरण को दर्शाता है, एच कोई भी सममित मैट्रिक्स के रूप में संतोषजनक होता है,

$$h(x)=x^{\left\{m\right\}'}Hx^{\{m\}}$$

और $L(\alpha )$ सदिश स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण के रूप में होता है

$${\mathcal {L}}=\left\{L=L':~x^{\{m\}'}Lx^{\{m\}}=0\right\}.$$

वेक्टर का आयाम $x^{\{m\}}$ द्वारा दिया गया है

$$\sigma (n,m)={\binom {n+m-1}{m}},$$

जबकि वेक्टर $\alpha$ अल्फा का आयाम द्वारा दिया गया है

$$\omega (n,2m)={\frac {1}{2}}\sigma (n,m)\left(1+\sigma (n,m)\right)-\sigma (n,2m).$$

तब, h(x) एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि कोई वेक्टर उपस्थित $\alpha$ है ऐसा है कि

हेन, एच (एक्स) एसओएस है अगर और और केवल अगर वहां एक वेक्टर मौजूद है,

$$H+L(\alpha )\geq 0,$$

मतलब कि मैट्रिक्स (गणित) $H+L(\alpha )$ धनात्मक-अर्द्धपरिमित मैट्रिक्स के रूप में होती है। यह एक रैखिक मैट्रिक्स असमानता एलएमआई व्यवहार्यता परीक्षण है, जो एक उत्तल अनुकूलन समस्या के रूप में है। व्यंजक $h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}$ में प्रस्तुत किया गया है वर्ग मैट्रिक प्रतिनिधित्व एसएमआर नाम के साथ यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है या नहीं। इस प्रतिनिधित्व को ग्राम मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण

• दो चरों में घात 4 के रूप पर विचार करें $h(x)=x_{1}^{4}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}$. अपने पास
  $$m=2,$$