औसत चलन

For other uses, see Moving-average model and Moving average (disambiguation).

File:Lissage sinus bruite moyenne glissante.svg

चलती औसत (लाल वक्र) के साथ एक शोर साइन (नीला वक्र) का चौरसाई।

आंकड़ों में, एक मूविंग एवरेज (रोलिंग एवरेज या रनिंग एवरेज) पूर्ण डेटा सेट के विभिन्न उपसमूहों की औसत की एक श्रृंखला बनाकर डेटा बिंदुओं का विश्लेषण करने के लिए एक गणना है। इसे मूविंग मीन (एमएम) भी कहा जाता है या रोलिंग माध्य और परिमित आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर का एक प्रकार है। विविधताओं में शामिल हैं: #सरल मूविंग एवरेज, #संचयी मूविंग एवरेज, या #वेटेड मूविंग एवरेज फॉर्म (नीचे वर्णित)।

संख्याओं की एक श्रृंखला और एक निश्चित उपसमुच्चय आकार को देखते हुए, चलती औसत का पहला तत्व संख्या श्रृंखला के प्रारंभिक निश्चित उपसमुच्चय का औसत लेकर प्राप्त किया जाता है। फिर उपसमुच्चय को आगे स्थानांतरित करके संशोधित किया जाता है; अर्थात्, श्रृंखला की पहली संख्या को छोड़कर और सबसेट में अगले मान को शामिल करना।

चलती औसत का उपयोग आमतौर पर समय श्रृंखला डेटा के साथ अल्पकालिक उतार-चढ़ाव को सुचारू करने और लंबी अवधि के रुझानों या चक्रों को उजागर करने के लिए किया जाता है। शॉर्ट-टर्म और लॉन्ग-टर्म के बीच की सीमा आवेदन पर निर्भर करती है, और मूविंग एवरेज के पैरामीटर तदनुसार सेट किए जाएंगे। इसका उपयोग अर्थशास्त्र में सकल घरेलू उत्पाद, रोजगार या अन्य व्यापक आर्थिक समय श्रृंखला की जांच के लिए भी किया जाता है। गणितीय रूप से, मूविंग एवरेज एक प्रकार का कनवल्शन है और इसलिए इसे संकेत आगे बढ़ाना में उपयोग किए जाने वाले लो पास फिल्टर के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। जब गैर-समय श्रृंखला डेटा के साथ प्रयोग किया जाता है, तो चलती औसत समय के किसी विशिष्ट कनेक्शन के बिना उच्च आवृत्ति घटकों को फ़िल्टर करती है, हालांकि आमतौर पर किसी प्रकार का ऑर्डरिंग निहित होता है। सरलता से देखा जाए तो इसे डेटा को स्मूथ करने के रूप में माना जा सकता है।

सिंपल मूविंग एवरेज

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वित्तीय अनुप्रयोगों में एक साधारण मूविंग एवरेज (SMA) पिछले का अनवेटेड अंकगणितीय माध्य है $k$ डेटा अंक। हालांकि, विज्ञान और इंजीनियरिंग में, औसत आम तौर पर एक केंद्रीय मूल्य के दोनों ओर डेटा की समान संख्या से लिया जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि समय में बदलाव के बजाय माध्य में भिन्नता डेटा में भिन्नता के साथ संरेखित हो। सरल समान रूप से भारित चलने वाले माध्य का एक उदाहरण अंतिम से अधिक माध्य है $k$ युक्त डेटा-सेट की प्रविष्टियाँ $n$ प्रविष्टियाँ। उन डेटा-पॉइंट्स को रहने दें $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$. यह किसी शेयर की क्लोजिंग कीमत हो सकती है। आखिरी ओवर का मतलब $k$ डेटा-पॉइंट (इस उदाहरण में दिन) के रूप में दर्शाया गया है ${\textit {SMA}}_{k}$ और इस प्रकार गणना की गई:

$${\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k}&={\frac {p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\cdots +p_{n}}{k}}\\&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+1}^{n}p_{i}\end{aligned}}$$

अगले माध्य की गणना करते समय ${\textit {SMA}}_{k,next}$ समान नमूनाकरण चौड़ाई के साथ $k$ से सीमा $n-k+2$ को $n+1$ माना जाता है। एक नया मूल्य $p_{n+1}$ योग और सबसे पुराने मान में आता है $p_{n-k+1}$ बाहर निकल जाता है। यह पिछले माध्य का पुन: उपयोग करके गणना को सरल करता है ${\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}$.

$${\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}\\&={\frac {1}{k}}{\Big (}\underbrace {p_{n-k+2}+p_{n-k+3}+\dots +p_{n}+p_{n+1}} _{\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}}+\underbrace {p_{n-k+1}-p_{n-k+1}} _{=0}{\Big )}\\&=\underbrace {{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\dots +p_{n}{\Big )}} _{={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}-{\frac {p_{n-k+1}}{k}}+{\frac {p_{n+1}}{k}}\\&={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}+{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n+1}-p_{n-k+1}{\Big )}\end{aligned}}$$

इसका मतलब यह है कि मूविंग एवरेज फिल्टर को वास्तविक समय डेटा पर फीफो/सर्कुलर बफर और केवल 3 अंकगणितीय चरणों के साथ काफी सस्ते में गणना की जा सकती है।

FIFO / सर्कुलर बफर के शुरुआती भरने के दौरान सैंपलिंग विंडो डेटा-सेट आकार के बराबर होती है $k=n$ और औसत गणना #संचयी चलती औसत के रूप में की जाती है।

चयनित अवधि ($k$) रुचि के उतार-चढ़ाव के प्रकार पर निर्भर करता है, जैसे लघु, मध्यम या दीर्घावधि। वित्तीय दृष्टि से, मूविंग-एवरेज स्तरों की व्याख्या गिरते बाजार में समर्थन (तकनीकी विश्लेषण) या बढ़ते बाजार में प्रतिरोध (तकनीकी विश्लेषण) के रूप में की जा सकती है।

यदि उपयोग किया गया डेटा माध्य के आसपास केंद्रित नहीं है, तो एक साधारण मूविंग एवरेज नवीनतम डेटाम से आधा नमूना चौड़ाई से पीछे है। एक SMA भी पुराने डेटा के बाहर होने या नए डेटा के आने से असमान रूप से प्रभावित हो सकता है। SMA की एक विशेषता यह है कि यदि डेटा में आवधिक उतार-चढ़ाव होता है, तो उस अवधि का SMA लागू करने से वह भिन्नता समाप्त हो जाएगी (औसत में हमेशा एक होता है) पूरा चक्र)। लेकिन पूरी तरह से नियमित चक्र बहुत कम देखने को मिलता है। कई अनुप्रयोगों के लिए, केवल पिछले डेटा का उपयोग करके प्रेरित स्थानांतरण से बचना लाभप्रद है। इसलिए एक केंद्रीय मूविंग एवरेज की गणना की जा सकती है, जहां श्रृंखला में माध्य की गणना की जाती है, उस बिंदु के दोनों ओर समान दूरी पर डेटा का उपयोग किया जाता है। इसके लिए नमूना विंडो में विषम संख्या में बिंदुओं का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

एसएमए की एक बड़ी कमी यह है कि यह खिड़की की लंबाई से कम सिग्नल की एक महत्वपूर्ण मात्रा के माध्यम से जाने देता है। इससे भी बदतर, यह वास्तव में इसे उलट देता है। इससे अनपेक्षित कलाकृतियाँ हो सकती हैं, जैसे कि चिकने परिणाम में चोटियाँ दिखाई देती हैं जहाँ डेटा में गर्त थे। यह परिणाम अपेक्षा से कम सुचारू होने की ओर भी ले जाता है क्योंकि कुछ उच्च आवृत्तियों को ठीक से हटाया नहीं जाता है।

संचयी औसत

एक संचयी औसत (CA) में, डेटा एक क्रमित डेटम स्ट्रीम में आता है, और उपयोगकर्ता वर्तमान डेटा तक सभी डेटा का औसत प्राप्त करना चाहेगा। उदाहरण के लिए, एक निवेशक मौजूदा समय तक किसी विशेष स्टॉक के लिए सभी स्टॉक लेनदेन की औसत कीमत चाहता है। जैसा कि प्रत्येक नया लेन-देन होता है, लेन-देन के समय औसत मूल्य की गणना संचयी औसत का उपयोग करके उस बिंदु तक के सभी लेन-देन के लिए की जा सकती है, आमतौर पर n मानों के अनुक्रम का समान रूप से भारित औसत $x_{1}.\ldots ,x_{n}$ वर्तमान समय तक:

$${\textit {CA}}_{n}={{x_{1}+\cdots +x_{n}} \over n}\,.$$

इसकी गणना करने के लिए क्रूर-बल विधि सभी डेटा को स्टोर करना और योग की गणना करना और हर बार एक नया डेटा आने पर अंकों की संख्या से विभाजित करना होगा। हालाँकि, एक नए मान के रूप में केवल संचयी औसत को अद्यतन करना संभव है, $x_{n+1}$ सूत्र के प्रयोग से उपलब्ध हो जाता है

$${\textit {CA}}_{n+1}={{x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}.$$

इस प्रकार एक नए डेटम के लिए वर्तमान संचयी औसत पिछले संचयी औसत के बराबर है, गुणा एन, साथ ही नवीनतम डेटम, सभी को अब तक प्राप्त अंकों की संख्या से विभाजित किया गया है, n+1। जब सभी डेटा आ जाए (n = N), तो संचयी औसत अंतिम औसत के बराबर होगा। प्रत्येक बार एक नया डेटा आने पर सीए प्राप्त करने के लिए कुल डेटा के साथ-साथ अंकों की संख्या को स्टोर करना और अंकों की संख्या से कुल को विभाजित करना भी संभव है।

संचयी औसत सूत्र की व्युत्पत्ति सीधी है। का उपयोग करते हुए

$$x_{1}+\cdots +x_{n}=n\cdot {\textit {CA}}_{n}$$

और इसी तरह के लिए n + 1, ऐसा देखा गया है

$$x_{n+1}=(x_{1}+\cdots +x_{n+1})-(x_{1}+\cdots +x_{n})$$

के लिए इस समीकरण को हल करना ${\textit {CA}}_{n+1}$ का परिणाम

$${\begin{aligned}{\textit {CA}}_{n+1}&={x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={x_{n+1}+(n+1-1)\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n}+x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={{\textit {CA}}_{n}}+{{x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}\end{aligned}}$$

भारित चलती औसत

एक भारित औसत एक औसत है जिसमें नमूना विंडो में विभिन्न स्थितियों पर डेटा को अलग-अलग भार देने के लिए गुणा करने वाले कारक होते हैं। गणितीय रूप से, भारित मूविंग एवरेज एक निश्चित वेटिंग फ़ंक्शन के साथ डेटा का कनवल्शन है। एक एप्लिकेशन डिजिटल ग्राफ़िकल छवि से पिक्सेलकरण निकाल रहा है। वित्तीय क्षेत्र में, और अधिक विशेष रूप से वित्तीय डेटा के विश्लेषण में, एक भारित चलती औसत (डब्ल्यूएमए) का वजन का विशिष्ट अर्थ है जो अंकगणितीय प्रगति में कमी करता है। एक n-दिन WMA में नवीनतम दिन का भार n होता है, दूसरा नवीनतम $n-1$, आदि, एक के नीचे।

$${\text{WMA}}_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{((M-n)+2)}+p_{((M-n)+1)} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}$$

चित्र: भारित मूविंग औसत भार N=15.png|thumb|right|WMA भार n = 15

भाजक एक त्रिभुज संख्या के बराबर है ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}.}$ अधिक सामान्य स्थिति में भाजक हमेशा अलग-अलग भारों का योग होगा।

क्रमिक मानों में WMA की गणना करते समय, के अंशों के बीच का अंतर ${\text{WMA}}_{M+1}$ और ${\text{WMA}}_{M}$ है $np_{M+1}-p_{M}-\dots -p_{M-n+1}$. यदि हम योग को निरूपित करते हैं $p_{M}+\dots +p_{M-n+1}$ द्वारा ${\text{Total}}_{M}$, तब

$${\begin{aligned}{\text{Total}}_{M+1}&={\text{Total}}_{M}+p_{M+1}-p_{M-n+1}\\[3pt]{\text{Numerator}}_{M+1}&={\text{Numerator}}_{M}+np_{M+1}-{\text{Total}}_{M}\\[3pt]{\text{WMA}}_{M+1}&={{\text{Numerator}}_{M+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}\end{aligned}}$$

दाईं ओर का ग्राफ़ दिखाता है कि वज़न कैसे घटता है, सबसे हाल के डेटा के उच्चतम वज़न से, शून्य तक। इसकी तुलना एक्सपोनेंशियल मूविंग एवरेज में वज़न से की जा सकती है जो निम्नानुसार है।

{{anchor|Exponential}घातीय मूविंग एवरेज

Main article: Exponential smoothing

Further information: EWMA chart

एक एक्सपोनेंशियल मूविंग एवरेज (EMA), जिसे एक्सपोनेंशियली वेटेड मूविंग एवरेज (EWMA) के रूप में भी जाना जाता है। एक प्रथम-क्रम अनंत आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर है जो भारोत्तोलन कारकों को लागू करता है जो घातीय क्षय को कम करता है। प्रत्येक पुराने आंकड़े का भार चरघातांकी रूप से घटता है, कभी शून्य तक नहीं पहुंचता। यह सूत्रीकरण हंटर (1986) के अनुसार है।

अन्य भार

कभी-कभी अन्य वेटिंग सिस्टम का उपयोग किया जाता है - उदाहरण के लिए, शेयर ट्रेडिंग में वॉल्यूम वेटिंग प्रत्येक समय अवधि को उसके ट्रेडिंग वॉल्यूम के अनुपात में भारित करेगा।

एक्चुअरीज़ द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक और भार, स्पेंसर का 15-पॉइंट मूविंग एवरेज है (एक केंद्रीय चलती औसत)। इसके सममित वजन गुणांक [−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3] हैं, जो इस प्रकार कारक हैं [1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1, 1]×[−3, 3, 4, 3, −3]/320 और किसी घन बहुपद के नमूने को अपरिवर्तित छोड़ देता है। वित्त की दुनिया के बाहर, वेटेड रनिंग के कई रूप और अनुप्रयोग हैं। प्रत्येक वेटिंग फ़ंक्शन या कर्नेल की अपनी विशेषताएं होती हैं। इंजीनियरिंग और विज्ञान में फ़िल्टर की आवृत्ति और चरण प्रतिक्रिया वांछित और अवांछित विकृतियों को समझने में अक्सर प्राथमिक महत्व होती है जो एक विशेष फ़िल्टर डेटा पर लागू होगा।

माध्य केवल डेटा को सुचारू नहीं करता है। माध्य निम्न-पास फ़िल्टर का एक रूप है। उपयुक्त विकल्प बनाने के लिए उपयोग किए गए विशेष फ़िल्टर के प्रभावों को समझा जाना चाहिए। इस बिंदु पर, इस आलेख का फ्रांसीसी संस्करण 3 प्रकार के साधनों (संचयी, घातीय, गॉसियन) के वर्णक्रमीय प्रभावों पर चर्चा करता है।

गतिमान माध्यिका

एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण से, मूविंग एवरेज, जब एक समय श्रृंखला में अंतर्निहित प्रवृत्ति का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है, दुर्लभ घटनाओं जैसे कि तेजी से झटके या अन्य विसंगतियों के लिए अतिसंवेदनशील होता है। प्रवृत्ति का एक अधिक मजबूत अनुमान 'एन' समय बिंदुओं पर सरल चलती औसत है:

$${\widetilde {p}}_{\text{SM}}={\text{Median}}(p_{M},p_{M-1},\ldots ,p_{M-n+1})$$

जहां माध्यिका, उदाहरण के लिए, कोष्ठकों के भीतर मानों को छाँटकर और मध्य में मान ज्ञात करके पाया जाता है। n के बड़े मानों के लिए, स्किप लिस्ट#इंडेक्सेबल स्किपलिस्ट को अपडेट करके माध्यिका की कुशलता से गणना की जा सकती है। सांख्यिकीय रूप से, चलती औसत समय श्रृंखला की अंतर्निहित प्रवृत्ति को पुनर्प्राप्त करने के लिए इष्टतम है जब प्रवृत्ति के उतार-चढ़ाव सामान्य वितरण होते हैं। हालांकि, सामान्य वितरण प्रवृत्ति से बहुत बड़े विचलन पर उच्च संभावना नहीं रखता है जो बताता है कि इस तरह के विचलन का प्रवृत्ति अनुमान पर बहुत अधिक प्रभाव क्यों पड़ेगा। यह दिखाया जा सकता है कि अगर उतार-चढ़ाव को लेपलेस वितरण माना जाता है, तो चलती औसत सांख्यिकीय रूप से इष्टतम है। किसी दिए गए विचरण के लिए, लाप्लास वितरण सामान्य की तुलना में दुर्लभ घटनाओं पर उच्च संभावना रखता है, जो बताता है कि मूविंग माध्य मूविंग माध्य की तुलना में झटकों को बेहतर क्यों सहन करता है।

जब ऊपर सरल मूविंग मीडियन केंद्रीय होता है, तो स्मूथिंग मध्य फ़िल्टर के समान होता है, जिसमें एप्लिकेशन होते हैं, उदाहरण के लिए, इमेज सिग्नल प्रोसेसिंग। मूविंग मेडियन मूविंग एवरेज का एक अधिक मजबूत विकल्प है जब यह एक समय श्रृंखला में अंतर्निहित प्रवृत्ति का अनुमान लगाने की बात आती है। जबकि मूविंग एवरेज प्रवृत्ति को ठीक करने के लिए इष्टतम है यदि प्रवृत्ति के आसपास उतार-चढ़ाव सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, यह दुर्लभ घटनाओं जैसे कि तेजी से झटके या विसंगतियों के प्रभाव के लिए अतिसंवेदनशील है। इसके विपरीत, मूविंग मेडियन, जो टाइम विंडो के अंदर वैल्यू को सॉर्ट करके और बीच में वैल्यू को ढूंढकर पाया जाता है, ऐसी दुर्लभ घटनाओं के प्रभाव के लिए अधिक प्रतिरोधी है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि किसी दिए गए विचरण के लिए, लाप्लास वितरण, जिसे मूविंग मेडियन मानता है, सामान्य वितरण की तुलना में दुर्लभ घटनाओं पर उच्च संभावना रखता है, जो मूविंग एवरेज मानता है। नतीजतन, मूविंग मेडियन अंतर्निहित प्रवृत्ति का अधिक विश्वसनीय और स्थिर अनुमान प्रदान करता है, भले ही समय श्रृंखला प्रवृत्ति से बड़े विचलन से प्रभावित हो। इसके अतिरिक्त, मूविंग मेडियन स्मूथिंग मेडियन फ़िल्टर के समान है, जिसमें इमेज सिग्नल प्रोसेसिंग में विभिन्न अनुप्रयोग हैं।

मूविंग एवरेज रिग्रेशन मॉडल

Main article: Moving-average model

मूविंग एवरेज मॉडल में, ब्याज के एक वेरिएबल को अनदेखे स्वतंत्र त्रुटि शब्दों का भारित मूविंग एवरेज माना जाता है; मूविंग एवरेज में वजन का अनुमान लगाया जाना है।

उन दो अवधारणाओं को अक्सर उनके नाम के कारण भ्रमित किया जाता है, लेकिन जब वे कई समानताएं साझा करते हैं, तो वे अलग-अलग तरीकों का प्रतिनिधित्व करते हैं और बहुत अलग संदर्भों में उपयोग किए जाते हैं।

यह भी देखें

• घातांक सुगम करना
• एमएसीडी | मूविंग एवरेज कन्वर्जेन्स / डाइवर्जेंस इंडिकेटर
• विंडो समारोह

बढ़ती चलती औसत क्रॉसओवर

• बढ़ता मूविंग एवरेज
• रोलिंग हैश
• चालू हालत में कुल
• स्थानीय प्रतिगमन (LOESS और LOWESS)
• कर्नेल चौरसाई
• कम से कम वर्ग चल रहा है
• सविट्ज़की-गोले फ़िल्टर
• जीरो लैग एक्सपोनेंशियल मूविंग एवरेज

बाहरी संबंध

• Tuned, Using Moving Average Crossovers Programmatically