इकाई वेक्टर

गणित में, सामान्यतया सदिश समष्टि में इकाई सदिश की लंबाई 1 होती है। इकाई सदिश को प्रायः लोअरकेस अक्षर द्वारा सरकमफ्लेक्स या "हैट" के रूप में दर्शाया जाता है, जैसा कि

उच्चारण ${\hat {\mathbf {v} }}$-हैट के रूप में दर्शाया जाता है।

शब्द दिशा सदिश , जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाई सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से इकाई वृत्त पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।

एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में इकाई सदिश के रूप में होता है जैसे ,

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है। सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी इकाई सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

इकाई सदिश को अधिकांशतः सदिश समष्टि के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है और समष्टि में प्रत्येक सदिश को इकाई सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

Main article: मानक आधार

इकाई सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक इकाई सदिश के रूप में होते है

$\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल इकाई सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन जैसे, i का उपयोग करके निरूपित किया जाता है ${\vec {\imath }}$ मानक इकाई सदिश संकेतन के अतिरिक्त जैसे, $\mathbf {\hat {\imath }}$ के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k या ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ और ${\vec {k}}$ एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स होते है। अंकन पद्धति $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$, $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$, $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$, या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$, के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए, I , J , k जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।

जब समष्टि में एक इकाई सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ इकाई सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के अभिविन्यास कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

See also: जैकोबियन आव्यूह

बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन ऑर्थोगोनल इकाई सदिश के रूप में होती है

• ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (भी नामित $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है कि यदि बिंदु समरूपता अक्ष के प्रति घड़ी की वामावर्त दिशा में घूमता है
• $\mathbf {\hat {z}}$, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करती है

वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$ द्वारा दर्शायी गई है,

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

$\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .$

सदिश ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ के कार्य के रूप में होते है $\varphi ,$ और दिशा में स्थिर नहीं होते है। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय इन इकाई सदिश को भी संचालित किया जाता है। डेरिवेटिव के संबंध में $\varphi$ के रूप में होते है

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$