पर्याप्तता

पर्याप्तता विधि है जिसे पियरे डी फर्मेट ने अपने ग्रंथ "अधिकतम और न्यूनतम खोजने की विधि" में विकसित किया है। (फ्रांस में परिचालित लैटिन ग्रंथ c. 1636) कार्यों के मैक्सिमा और मिनिमा की गणना करने के लिए, वक्रों की स्पर्शरेखा, क्षेत्रफल, द्रव्यमान का केंद्र, कम से कम क्रिया, और कलन में अन्य समस्याएं। एंड्रे वेइल के अनुसार, फर्मेट ने तकनीकी शब्द ऐडेक्वालिटास, एडएक्वेर आदि का परिचय दिया, जो उन्होंने कहा कि उन्होंने डायोफैंटस से उधार लिया है। जैसा कि डायोफैंटस V.11 दिखाता है, इसका मतलब अनुमानित समानता है, और यह वास्तव में है कि फर्मेट ने अपने बाद के लेखों में से में इस शब्द की व्याख्या कैसे की। (वील 1973)। डायोफैंटस ने अनुमानित समानता को संदर्भित करने के लिए παρισότης (पैरिसोटेस) शब्द गढ़ा। क्लॉड गैसपार्ड बाचेत डी मेजिरियाक ने डायोफैंटस के ग्रीक शब्द का लैटिन में एडैक्वैलिटस के रूप में अनुवाद किया। मैक्सिमा और मिनिमा पर फ़र्मेट के लैटिन ग्रंथों के पॉल टेनरी के फ्रेंच अनुवाद में एडेकेशन और एडेगलर शब्दों का उपयोग किया गया है।

फर्मेट की विधि

फर्मेट ने पहले कार्यों की अधिकतमता खोजने के लिए पर्याप्तता का उपयोग किया, और फिर वक्रों को स्पर्शरेखा रेखाओं को खोजने के लिए इसे अनुकूलित किया।

एक शब्द का अधिकतम पता लगाने के लिए $p(x)$, फर्मेट बराबर (या अधिक सटीक रूप से पर्याप्त) $p(x)$ और $p(x+e)$ और बीजगणित करने के बाद वह के कारक को रद्द कर सकता है $e,$ और फिर सम्मिलित किसी भी शेष शर्तों को छोड़ दें $e.$ फर्मेट के अपने उदाहरण द्वारा विधि को स्पष्ट करने के लिए, अधिकतम ज्ञात करने की समस्या पर विचार करें $p(x)=bx-x^{2}$ (फर्मेट के शब्दों में, यह लंबाई की रेखा को विभाजित करना है $b$ बिंदु पर $x$, जैसे कि दो परिणामी भागों का उत्पाद अधिकतम हो। फ़र्मेट पर्याप्त $bx-x^{2}$ साथ $b(x+e)-(x+e)^{2}=bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}$. यानी (नोटेशन का उपयोग करके $\backsim$ पॉल टेनरी द्वारा पेश की गई पर्याप्तता को दर्शाने के लिए):

$bx-x^{2}\backsim bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}.$

रद्द करने की शर्तें और इसके द्वारा विभाजित करना $e$ फर्मेट पहुंचे

$b\backsim 2x+e.$

निहित शर्तों को हटाना $e$ फर्मेट वांछित परिणाम पर पहुंचे कि अधिकतम तब हुआ जब $x=b/2$.

फर्मेट ने अपने सिद्धांत का उपयोग स्नेल के अपवर्तन के नियमों की गणितीय व्युत्पत्ति सीधे सिद्धांत से किया कि प्रकाश सबसे तेज पथ लेता है।

डेसकार्टेस की आलोचना

फ़र्मेट की पद्धति की उनके समकालीनों, विशेष रूप से डेसकार्टेस द्वारा अत्यधिक आलोचना की गई थी। विक्टर जे. काट्ज़ का सुझाव है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि डेसकार्टेस ने स्वतंत्र रूप से उसी नए गणित की खोज की थी, जिसे उनकी सामान्य पद्धति के रूप में जाना जाता था, और डेसकार्टेस को अपनी खोज पर काफी गर्व था। काट्ज़ ने यह भी नोट किया कि फ़र्मेट के तरीके कलन में भविष्य के विकास के करीब थे, डेसकार्टेस के तरीकों का विकास पर अधिक तत्काल प्रभाव पड़ा।

विद्वतापूर्ण विवाद

न्यूटन और लाइबनिज दोनों ने फ़र्मेट के कार्य को अत्यल्प कैलकुलस के पूर्ववर्ती के रूप में संदर्भित किया। फिर भी, फ़र्मेट की पर्याप्तता के सटीक अर्थ के बारे में आधुनिक विद्वानों में असहमति है। फ़र्मेट की पर्याप्तता का कई विद्वानों के अध्ययनों में विश्लेषण किया गया था। 1896 में, पॉल टेनरी ने मैक्सिमा और मिनिमा पर फर्मेट के लैटिन ग्रंथों का फ्रांसीसी अनुवाद प्रकाशित किया (फर्मेट, ऑवरेस, वॉल्यूम III, पीपी। 121-156)। टेनरी ने फ़र्मेट के शब्द का अनुवाद "एडेगलर" के रूप में किया और फ़र्मेट के "एडेक्वेशन" को अपनाया। चमड़े का कारख़ाना भी प्रतीक पेश किया $\backsim$ गणितीय सूत्रों में समानता के लिए।

हेनरिक विलेटनर (1929) लिखा:

Fermat A को A+E से बदल देता है। फिर वह नई अभिव्यक्ति 'मोटे तौर पर बराबर' ('angenähert gleich') को पुराने वाले पर सेट करता है, दोनों पक्षों के समान पदों को रद्द करता है, और E की उच्चतम संभव शक्ति से विभाजित करता है। फिर वह उन सभी पदों को रद्द कर देता है जिनमें E होता है और उन्हें सेट करता है दूसरे के बराबर रहते हैं। उससे [आवश्यक] परिणाम। यह E जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए, यह कहीं नहीं कहा गया है और यह शब्द adaequalitas द्वारा सर्वोत्तम रूप से व्यक्त किया गया है।

(Wieleitner प्रतीक का उपयोग करता है $\scriptstyle \sim$.)

मैक्स मिलर (1934) लिखा:

उसके बाद दोनों शब्दों को रखना चाहिए, जो अधिकतम और न्यूनतम को व्यक्त करते हैं, लगभग बराबर (näherungsweise gleich), जैसा कि डायोफैंटस कहते हैं।

(मिलर प्रतीक का उपयोग करता है) $\scriptstyle \approx$.)

जीन इटार्ड (1948) लिखा है:

कोई जानता है कि एक्सप्रेशन एडेगलर डायोफैंटस से फर्मेट द्वारा अपनाया गया है, जिसका अनुवाद ज़ाइलेंडर और बचे द्वारा किया गया है। यह अनुमानित समानता (égalité approximative) के बारे में है।

(Itard प्रतीक का उपयोग करता है $\scriptstyle \backsim$.)

जोसेफ एरेनफ्राइड हॉफमैन (1963) लिखा:

Fermat मात्रा h चुनता है, जिसे पर्याप्त रूप से छोटा माना जाता है, और f(x + h) 'मोटे तौर पर बराबर' ('ungefähr gleich') को f(x) में रखता है। उनका तकनीकी शब्द adaequare है।

(हॉफमैन प्रतीक का उपयोग करता है $\scriptstyle \approx$.)

पीर स्ट्रोमहोम (1968) लिखा:

फर्मेट के दृष्टिकोण का आधार दो अभिव्यक्तियों की तुलना थी, चूंकि उनका रूप समान था, किन्तु वे बिल्कुल समान नहीं थे। इस प्रक्रिया के इस हिस्से को उन्होंने तुलना पार ऐडेक्वालिटेटेम या तुलनात्मक प्रति एडीईक्वालिटेटेम कहा, और इसमें निहित है कि समीकरण के दोनों पक्षों के बीच अन्यथा सख्त पहचान चर के संशोधन द्वारा द्वारा नष्ट कर दी गई थी। छोटी राशि:

$\scriptstyle f(A){\sim }f(A+E)$.

मेरा मानना ​​है कि यह डायोफैंटस के πἀρισον के उनके उपयोग का वास्तविक महत्व था, जो भिन्नता की लघुता पर बल देता है। 'adaequalitas' का सामान्य अनुवाद 'अनुमानित समानता' प्रतीत होता है, किन्तु मैं इस बिंदु पर फ़र्मेट के विचार को प्रस्तुत करने के लिए 'छद्म-समानता' को अधिक पसंद करता हूँ।

उन्होंने आगे कहा कि M1 (विधि 1) में कभी भी कोई भिन्नता का प्रश्न E को शून्य के बराबर रखा जा रहा है। ई युक्त शब्दों को दबाने की प्रक्रिया को व्यक्त करने के लिए फर्मेट शब्द 'एलिडो', 'डेलियो' और 'एक्सुंगो' थे, और फ्रेंच में 'आई'फेस' और 'आई'ओटे' थे। हम संभवतः ही विश्वास कर सकते हैं कि समझदार व्यक्ति जो अपने अर्थ को व्यक्त करना चाहता है और शब्दों की खोज कर रहा है, वह लगातार सरल तथ्य प्रदान करने के ऐसे कुटिल तरीकों से टकराएगा कि ई शून्य होने के कारण शब्द गायब हो गए। (पृष्ठ 51) 'क्लॉस जेन्सेन' (1969) लिखा है:

इसके अतिरिक्त, adégalité की धारणा को लागू करने में - जो फ़र्मेट की स्पर्शरेखा बनाने की सामान्य विधि का आधार है, और जिसका अर्थ है दो परिमाणों की तुलना 'जैसे कि वे बराबर थे, चूंकि वे वास्तव में नहीं हैं' (तमक्वाम एसेन्ट इक्वेलिया, लिसेट रेवेरा इक्वेलिया नॉन सिंट) - मैं आजकल अधिक सामान्य प्रतीक का उपयोग करूंगा $\scriptstyle \approx$।

लैटिन उद्धरण टैनरी के 1891 संस्करण फ़र्मेट, खंड 1, पृष्ठ 140 से आता है। माइकल सीन महोनी (1971) ने लिखा है:

मैक्सिमा और मिनिमा की फर्मेट की विधि, जो स्पष्ट रूप से किसी भी बहुपद P(x) पर लागू होती है, मूल रूप से विशुद्ध रूप से सीमित बीजगणितीय नींव पर आधारित है। विएत के समीकरणों के सिद्धांत, उन जड़ों और बहुपद के गुणांकों में से के बीच संबंध, जो पूरी तरह से सामान्य था, को निर्धारित करने के लिए, 'प्रतितथ्यात्मक रूप से', दो समान जड़ों की असमानता को मान लिया। इस संबंध ने तब चरम-मूल्य समाधान का नेतृत्व किया जब फर्मेट ने अपनी 'प्रतितथ्यात्मक धारणा' को हटा दिया और जड़ों को बराबर कर दिया। डायोफैंटस से शब्द उधार लेते हुए, फ़र्मेट ने इसे 'प्रतितथ्यात्मक समानता' 'पर्याप्तता' कहा।

(महोनी प्रतीक का उपयोग करता है $\scriptstyle \approx$।) पी पर। 164, फुटनोट 46 के अंत में, महोनी नोट करते हैं कि पर्याप्तता के अर्थों में से सीमित मामले में समानता या समानता है। 'चार्ल्स हेनरी एडवर्ड्स, जूनियर' (1979) लिखा:

उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि लंबाई के खंड को कैसे विभाजित किया जाए $\scriptstyle b$ दो खंडों में $\scriptstyle x$ और $\scriptstyle b-x$ जिसका उत्पाद $\scriptstyle x(b-x)=bx-x^{2}$ अधिकतम है, अर्थात परिमाप के साथ आयत ज्ञात करना है $\scriptstyle 2b$ जिसका अधिकतम क्षेत्र है, वह [फर्मेट] निम्नानुसार आगे बढ़ता है। पहले उन्होंने स्थानापन्न किया $\scriptstyle x+e$

(उसने एक्स, ई के अतिरिक्त ए, ई का उपयोग किया) अज्ञात एक्स के लिए, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति की मूल अभिव्यक्ति के साथ तुलना करने के लिए निम्नलिखित 'छद्म-समानता' लिखा:

$b(x+e)-<!--\; -\; -->{(x+e)}^2=bx+be-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->2xe-<!--\; -\; -->e^2\sim <!--\; \sim \; -->$