नकार

भाषा विज्ञान में निषेध के लिए पुष्टि और निषेध देखें। अन्य प्रयोगों के लिए, निषेध (बहुविकल्पी) देखें।

Negation

NOT
Venn diagram of Negation
Definition	${\overline {x}}$
Truth table	$(10)$
Logic gate	File:NOT ANSI.svg
Normal forms
Disjunctive	${\overline {x}}$
Conjunctive	${\overline {x}}$
Zhegalkin polynomial	$1\oplus x$
Post's lattices
0-preserving	no
1-preserving	no
Monotone	no
Affine	yes

तर्क में, निषेध, जिसे तार्किक पूरक भी कहा जाता है, एक संक्रिया है जो एक प्रस्ताव $P$ दूसरे प्रस्ताव के लिए ''नॉट $P$'' मे ले जाता है जिसे $\neg P$, ${\mathord {\sim }}P$ या ${\overline {P}}$ मे लिखा जाता है। इसे सहज रूप से सत्य होने के रूप में व्याख्या की जाती है $P$ असत्य है, और असत्य है जब $P$ सत्य है। इस प्रकार निषेध एक एकात्मक संक्रिया तार्किक संयोजक है। इसे सामान्य रूप से धारणा (दर्शन), प्रस्ताव, सत्य मूल्य, या व्याख्या (तर्क) पर एक संक्रिया के रूप में प्रयुक्त किया जा सकता है। शास्त्रीय तर्क में, निषेध को सामान्य रूप से सत्य फलन के साथ पहचाना जाता है जो सत्य को असत्यता (और इसके विपरीत) में ले जाता है। अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, ब्रौवर-हेटिंग-कोल्मोगोरोव व्याख्या के अनुसार, एक प्रस्ताव $P$ की उपेक्षा वह प्रस्ताव है जिसके प्रमाण का $P$ खंडन है।

परिभाषा

उत्कृष्ट निषेध एक तार्किक मूल्य पर एक तार्किक संक्रिया है, सामान्य रूप से एक प्रस्ताव का मूल्य, जो सत्य का मान उत्पन्न करता है जब उसका संकार्य असत्य होता है, और जब उसका संकार्य सत्य होता है तो असत्य का मान होता है। इस प्रकार यदि कथन P सत्य है, तो $\neg P$ (उच्चारण नॉट P ) तब असत्य होगा; और इसके विपरीत, यदि $\neg P$ असत्य है तो P सत्य होगा।

की सत्य तालिका $\neg P$ इस प्रकार है:

$P$	$\neg P$
True	False
False	True

निषेध को अन्य तार्किक संक्रियाओं के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $\neg P$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $P\rightarrow \bot$ (जहां $\rightarrow$ तार्किक परिणाम है और $\bot$ असत्य (तर्क) है)। इसके विपरीत परिभाषित किया जा सकता है $\bot$ जैसा $Q\land \neg Q$ किसी प्रस्ताव के लिए Q (जहां $\land$ तार्किक संयोजन है)। यहाँ विचार यह है कि कोई भी विरोधाभास असत्य है, और जबकि ये विचार शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क दोनों में कार्य करते हैं, वे परासंगत तर्क में कार्य नहीं करते हैं, जहाँ विरोधाभास आवश्यक रूप से असत्य नहीं हैं। शास्त्रीय तर्कशास्त्र में हमें एक अन्य पहचान भी मिलती है, $P\rightarrow Q$ को $\neg P\lor Q$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां $\lor$ तार्किक वियोजन है।

बीजगणितीय रूप से, शास्त्रीय निषेध एक बूलियन बीजगणित (संरचना) में पूरक (आदेश सिद्धांत) से अनुरूप है, और एक हेटिंग बीजगणित में छद्म पूरकता के लिए अंतर्ज्ञानवादी निषेध है। ये बीजगणित क्रमशः शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) प्रदान करते हैं।

संकेत

एक प्रस्ताव की अस्वीकृति p चर्चा के विभिन्न संदर्भों और आवेदन के क्षेत्रों में अलग-अलग तरीकों से प्रलेखित किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में इनमें से कुछ प्रकार हैं:

संकेत	प्लेनटेक्स्ट	शब्दोच्चारण
$\neg p$	¬p	नॉट p
${\mathord {\sim }}p$	~p	नॉट p
$-p$	-p	नॉट p
Np		ईएन p
$p'$	p'	p prime, p complement
${\overline {p}}$	̅p	p bar, Bar p
$!p$	!p	Bang p Not p

संकेतन एनपी पोलिश संकेतन है#तर्क के लिए पोलिश संकेतन|लुकासिविज़ संकेतन।

समुच्चय सिद्धांत#मूल अवधारणा और अंकन में, $\setminus$ 'के समुच्चय में नहीं' इंगित करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है: $U\setminus A$ के सभी इकाइयों का समुच्चय है U जो इसके इकाई नहीं हैं A.

तथापि यह कैसे प्रलेखित किया गया हो या तर्क प्रतीकों की सूची, निषेध $\neg P$ पढ़ा जा सकता है क्योंकि ऐसा नहीं है P, नहीं कि P, या सामान्य रूप से अधिक सरल रूप में नहीं P.

गुण

दोहरा निषेध

शास्त्रीय तर्क की एक प्रणाली के भीतर, दोहरा निषेध, अर्थात, एक प्रस्ताव के निषेध का निषेध $P$, तार्किक रूप से समकक्ष है $P$. प्रतीकात्मक शब्दों में व्यक्त, $\neg \neg P\equiv P$. अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, एक प्रस्ताव का तात्पर्य इसके दोहरे निषेध से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। यह शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी निषेध के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर को चिन्हित करता है। बीजगणितीय रूप से, शास्त्रीय निषेध को अवधि दो का एक समावेशन (गणित) कहा जाता है।

हालांकि, अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, दुर्बल समानता $\neg \neg \neg P\equiv \neg P$ धारण करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, $\neg P$ के लिए मात्र एक लघुकथा है $P\rightarrow \bot$, और हमारे पास भी है $P\rightarrow \neg \neg P$. त्रिपक्षीय निषेध के साथ उस अंतिम निहितार्थ की रचना करना $\neg \neg P\rightarrow \bot$ इसका आशय है $P\rightarrow \bot$ .

परिणामस्वरूप, प्रस्ताव के स्थितिमें, एक वाक्य शास्त्रीय रूप से सिद्ध होता है, यदि इसकी दोहरी अस्वीकृति अंतर्ज्ञानवादी रूप से सिद्ध होती है। इस परिणाम को दोहरा-निषेध अनुवाद के रूप में जाना जाता है | ग्लिवेंको का प्रमेय।

वितरणशीलता

डी मॉर्गन के नियम तार्किक संयोजन और तार्किक संयोजन पर वितरणात्मक संपत्ति निषेध का एक तरीका प्रदान करते हैं:

$\neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)$, और

$$