अल्प सम्मुचय

सामान्य टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक छोटा समुच्चय (जिसे अल्प समुच्चय या पहली श्रेणी का समुच्चय भी कहा जाता है) एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक सबसेट है जो नीचे दिए गए सटीक अर्थों में छोटा या नगण्य है। एक समुच्चय जो अल्प नहीं है, उसे गैर-समृद्ध या दूसरी श्रेणी का कहा जाता है। अन्य संबंधित शर्तों की परिभाषाओं के लिए नीचे देखें।

एक निश्चित स्थान के न्यूनतम उपसमुच्चय एक σ-मानक उपसमुच्चय बनाते हैं; अर्थात्, छोटे समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय छोटा होता है, और कई छोटे समुच्चयों का संघ छोटा होता है।

बेयर स्पेस और बेयर श्रेणी प्रमेय की धारणा के निर्माण में अल्प समुच्चय एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिसका उपयोग कार्यात्मक विश्लेषण के कई मूलभूत परिणामों के प्रमाण में किया जाता है।

परिभाषाएँ

हर जगह, $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।

$X$के एक उपसमुच्चय को $X$ में अल्प कहा जाता है, $X$ का अल्प उपसमुच्चय, या $X$ में पहली श्रेणी का, यदि यह X के कहीं नहीं सघन उपसमुच्चय का एक गणनीय संघ है (जहाँ कहीं भी सघन समुच्चय एक ऐसा समुच्चय है जिसका संवरण एक रिक्त आंतरिक भाग है ). क्वालिफायर "$X$ में" छोड़ा जा सकता है यदि परिवेश स्थान तय हो और संदर्भ से समझा जाए।

एक उपसमुच्चय जो $X$ में कम नहीं है, $X$ में गैर अल्प उपसमुच्चय है या $X$में दूसरी श्रेणी का है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस को अल्प (क्रमशः, गैर अल्प उपसमुच्चय) कहा जाता है यदि यह स्वयं का अल्प (क्रमशः, गैर अल्प उपसमुच्चय) उपसमुच्चय है।

X का एक उपसमुच्चय $A$ को $X$ में कोमेग्रे कहा जाता है, या $X$ में अवशिष्ट कहा जाता है, यदि इसका पूरक (सेट सिद्धांत $X\setminus A$ सेट माइनस $A$$X$ में अल्प है। (उपसर्ग "co" का यह प्रयोग अन्य शब्दों में इसके उपयोग के अनुरूप है जैसे " कोफिनिट"।) एक उपसमुच्चय $X$ में कमग्रे है अगर और केवल अगर यह समुच्चय के एक गणनीय क्रॉस के बराबर है, जिसका प्रत्येक इंटीरियर में $X$ घना है।

गैर अल्प और कॉमेग्रे की धारणाओं को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। यदि स्थान $X$ अल्प है, तो प्रत्येक उपसमुच्चय अल्प और लघु दोनों है, और कोई भी अल्पांश समुच्चय नहीं है। यदि स्पेस $X$ नॉनमेयर है, तो कोई भी सेट एक ही समय में कम और कम नहीं है, प्रत्येक कॉमेग्रे सेट नॉनमेयर है, और ऐसे गैर अल्प समुच्चय हो सकते हैं जो कॉमेग्रे नहीं हैं, यानी गैर अल्प कॉम्प्लिमेंट के साथ। नीचे उदाहरण अनुभाग देखें।

शब्दावली के एक अतिरिक्त बिंदु के रूप में, यदि एक उपसमुच्चय $A$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ से प्रेरित सबस्पेस टोपोलॉजी दी गई है $X$, कोई इसके बारे में एक अल्प स्थान होने के बारे में बात कर सकता है, अर्थात् स्वयं का एक अल्प उपसमुच्चय (जब अपने आप में एक स्थलीय स्थान के रूप में माना जाता है)। इस मामले में $A$ की अल्प उपसमष्टि भी कहा जा सकता है $X$, जिसका अर्थ है एक अल्प स्थान जब उप-स्थान टोपोलॉजी दिया जाता है। महत्वपूर्ण रूप से, यह संपूर्ण स्थान में कम होने के समान नहीं है $X$. (दोनों के बीच संबंध के लिए नीचे दिए गए गुण और उदाहरण अनुभाग देखें।) इसी तरह, एक गैर-अंश उप-स्थान एक ऐसा सेट होगा जो अपने आप में गैर-अंश है, जो पूरे अंतरिक्ष में गैर-अंश के समान नहीं है। हालांकि जागरूक रहें कि टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के संदर्भ में कुछ लेखक एक वेक्टर सबस्पेस का अर्थ करने के लिए मेग्रे/नॉनमीग्रे सबस्पेस वाक्यांश का उपयोग कर सकते हैं जो पूरे स्थान के सापेक्ष एक अल्प/नॉनमेग्रे सेट है। पहली श्रेणी और दूसरी श्रेणी के शब्द मूल रूप से रेने बेयर द्वारा 1899 की अपनी थीसिस में इस्तेमाल किए गए थे। अल्प शब्दावली 1948 में निकोलस बोरबाकी द्वारा पेश की गई थी।

गुण

कहीं नहीं का सघन उपसमुच्चय $X$ अल्प है। नतीजतन, खाली इंटीरियर वाला कोई भी बंद उपसमुच्चय अल्प है। इस प्रकार का एक बंद नॉनमेग्रे सबसेट $X$ गैर-खाली इंटीरियर होना चाहिए।

(1) अल्प समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय अल्प होता है; (2) अल्प समुच्चयों का कोई भी गणनीय संघ अल्प होता है। इस प्रकार एक निश्चित स्थान के अल्प उपसमुच्चय एक सिग्मा-आदर्श | σ-आदर्श उपसमुच्चयों का निर्माण करते हैं, नगण्य समुच्चय की एक उपयुक्त धारणा। और, समतुल्य (1) के लिए, एक गैर-समुच्चय का कोई भी सुपरसेट nonmeagre है।

वास्तव में, (1) कॉमएग्रे सेट का कोई भी सुपरसेट कॉमएग्रे होता है; (2) कॉमेग्रे समुच्चयों का कोई भी गणनीय प्रतिच्छेदन कॉमएग्रे होता है।

मान लीजिए $A\subseteq Y\subseteq X,$ कहाँ पे $Y$ सबस्पेस टोपोलॉजी से प्रेरित है $X.$ सेट $A$ में अल्प हो सकता है $X$ में अल्प होने के बिना $Y.$ हालाँकि निम्नलिखित परिणाम धारण करते हैं:

• यदि $A$ में अल्प है $Y,$ फिर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में खुला है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में घना है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$

और तदनुसार गैर अल्प सेट के लिए:

• यदि $A$ में अल्प है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y.$
• यदि $Y$ में खुला है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में घना है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$

विशेष रूप से, का हर सबसेट $X$ जो अपने आप में अल्प है वह अपने आप में अल्प है $X.$ का हर उपसमुच्चय $X$ वह गैर-मामूली है $X$ अपने आप में तुच्छ है। और एक खुले सेट या घने सेट के लिए $X,$ में अल्प होना $X$ अपने आप में अल्प होने के बराबर है, और इसी तरह गैर-संपत्ति के लिए।

कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें एक पृथक बिंदु होता है, नॉनमग्रे होता है (क्योंकि पृथक बिंदु वाला कोई भी सेट कहीं भी घना नहीं हो सकता है)। विशेष रूप से, प्रत्येक गैर-खाली असतत स्थान गैर-महत्वपूर्ण है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ नॉनमेग्रे है अगर और केवल अगर घने खुले सेट के प्रत्येक गणनीय चौराहे में $X$ खाली नहीं है। प्रत्येक गैर-खाली बायर स्थान गैर-अंक है। विशेष रूप से, बायर श्रेणी प्रमेय द्वारा प्रत्येक गैर-खाली पूर्ण मीट्रिक स्थान और प्रत्येक गैर-खाली स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थान गैर-अंश है।

Banach category theorem: किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में $X,$ अल्प खुले सेटों के एक मनमाने परिवार का मिलन एक अल्प सेट है।

अल्प उपसमुच्चय और Lebesgue माप

एक अल्प सेट में $\mathbb {R}$ Lebesgue माप शून्य होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण माप भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंतराल में $[0,1]$ मोटा कैंटर सेट घने कही�