तुल्यता संबंध

द्विआधारी संबंध

5-तत्व समुच्चयपर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है

5\times 5

तार्किक मैट्रिक्स (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र सम्मिलित हैं, एक के लिए खड़े हैं, शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता संबंधों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता संबंध होता है)।

गणित में, तुल्यता संबंध एक द्विआधारी संबंध है जो प्रतिक्रियात्मक, सममित और सकर्मक संबंध होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच समतुल्य संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।

प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त तुल्यता संबंधों में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।

संकेतन

साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है $a$ तथा $b$ तुल्यता संबंध के एक समुच्चय के बराबर हैं $R;$ सबसे सामान्य हैं $a\sim b$ तथा $a \equiv b$ , जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है " a _R b, "a ≡_R b", या ${a\mathop {R} b}$ , $R$ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है $a ≁ b$ या $a\not \equiv b$ .

परिभाषा

समुच्चय $X$ पर द्विआधारी संबंध $\,\sim \,$ को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए $a,b,$ तथा $c$ में $X:$

$a\sim a$ (प्रतिवर्त संबंध)।
$a\sim b$ अगर और केवल अगर $b\sim a$ (सममित संबंध)।
यदि $a\sim b$ तथा $b\sim c$ फिर $a\sim c$ (सकर्मक संबंध)।

$X$ संबंध के साथ $\,\sim \,$ एक समुच्चयॉइड कहा जाता है। तुल्यता संबंध $a$ नीचे $\,\sim ,$ लक्षित $[a],$ को इस तरह परिभाषित किया गया है $[a]=\{x\in X:x\sim a\}.$ ^[1]^[2]

संबंधपरक बीजगणित का उपयोग करते हुए वैकल्पिक परिभाषा

संबंध परक बीजगणित में, यदि $R\subseteq X\times Y$ तथा $S\subseteq Y\times Z$ के संबंध हैं, तो संबंधों की संरचना को $SR\subseteq X\times Z$ से परिभाषित किया गया है ताकि $x\,SR\,z$ अगर और केवल अगर वहाँ एक है $y\in Y$ ऐसा है कि $x\,R\,y$ तथा $y\,S\,z$ .^{[note 1]} यह परिभाषा कार्यात्मक संरचना की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण $R$ एक समुच्चयपर $X$ फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है

$\operatorname {id} \subseteq R$ . (परावर्तन रिलेशन)। (यहां, आई डी पहचान फलन को $X$ .से दर्शाता है)
$R=R^{-1}$ (सममित संबंध)।
$RR\subseteq R$ (सकर्मक संबंध)।^[3]