फ्राउड संख्या

सातत्य यांत्रिकी में, फ्राउड संख्या (Fr, विलियम फ्राउड के बाद, /ˈfruːd/) एक आयामहीन संख्या है जिसे बाहरी क्षेत्र की श्यानता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है (कई अनुप्रयोगों में उत्तरार्द्ध केवल गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है)। फ्राउड संख्या गति-लंबाई अनुपात पर आधारित है जिसे उन्होंने इस प्रकार परिभाषित किया है:

$$\mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}$$

जहां u स्थानीय प्रवाह वेग है, g स्थानीय बाहरी क्षेत्र है, और L एक विशिष्ट लंबाई है. फ्राउड संख्या का मैक संख्या के साथ कुछ सादृश्य है। सैद्धांतिक द्रव गतिकी में फ्राउड संख्या पर अक्सर विचार नहीं किया जाता है क्योंकि आमतौर पर समीकरणों को नगण्य बाहरी क्षेत्र की उच्च फ्राउड सीमा में माना जाता है, जिससे सजातीय समीकरण बनते हैं जो गणितीय पहलुओं को संरक्षित करते हैं। उदाहरण के लिए, सजातीय यूलर समीकरण संरक्षण कानून हैं।

हालाँकि, नौसैनिक वास्तुकला में फ्राउड संख्या एक महत्वपूर्ण आंकड़ा है जिसका उपयोग पानी के माध्यम से चलती हुई आंशिक रूप से जलमग्न वस्तु के प्रतिरोध को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उत्पत्ति

ओपन-चैनल प्रवाह में, Belanger 1828 सबसे पहले प्रवाह वेग और गुरुत्वाकर्षण त्वरण के वर्गमूल और प्रवाह की गहराई के अनुपात का परिचय दिया। जब अनुपात एकता से कम था, तो प्रवाह एक नदी गति (यानी, सबक्रिटिकल प्रवाह) की तरह व्यवहार करता था, और जब अनुपात एकता से अधिक होता था, तो एक मूसलाधार प्रवाह गति की तरह व्यवहार करता था।

हंस (ऊपर) और कौवे (नीचे) के पतवार। 3, 6, और 12 का एक क्रम (चित्र में दिखाया गया है) फ़ुट स्केल मॉडल का निर्माण फ्राउड द्वारा किया गया था और प्रतिरोध और स्केलिंग कानूनों को स्थापित करने के लिए टोइंग परीक्षणों में उपयोग किया गया था।

तैरती हुई वस्तुओं के प्रतिरोध को मापने का श्रेय आम तौर पर विलियम फ्राउड को दिया जाता है, जिन्होंने एक निश्चित गति से खींचे जाने पर प्रत्येक मॉडल द्वारा पेश किए गए प्रतिरोध को मापने के लिए स्केल मॉडल की एक श्रृंखला का उपयोग किया था। नौसैनिक निर्माता फ्रेडरिक रीच ने बहुत पहले 1852 में जहाजों और प्रोपेलर के परीक्षण के लिए इस अवधारणा को सामने रखा था लेकिन फ्राउड इससे अनभिज्ञ थे। गति-लंबाई अनुपात को मूल रूप से फ्राउड ने 1868 में अपने तुलनात्मक नियम में आयामी शब्दों में परिभाषित किया था:

$${\text{speed–length ratio}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}$$

जहां:

• u = प्रवाह गति
• LWL = जलरेखा की लंबाई

इस शब्द को गैर-आयामी शब्दों में परिवर्तित कर दिया गया और उनके द्वारा किए गए कार्य के सम्मान में उन्हें फ्राउड का नाम दिया गया। फ़्रांस में, इसे कभी-कभी फ़्रेडेरिक रीच के नाम पर रीच-फ़्राउड नंबर भी कहा जाता है।

परिभाषा और मुख्य अनुप्रयोग

यह दिखाने के लिए कि फ्राउड संख्या सामान्य सातत्य यांत्रिकी से कैसे जुड़ी है, न कि केवल हाइड्रोडायनामिक्स से, हम इसके आयामहीन (नॉनडायमेंशनल) रूप में कॉची गति समीकरण से शुरू करते हैं।

कॉची संवेग समीकरण

See also: Cauchy momentum equation

समीकरणों को आयामहीन बनाने के लिए, एक विशेषता लंबाई r₀, और एक विशिष्ट वेग यू₀, परिभाषित करने की आवश्यकता है। इन्हें इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि आयामहीन चर सभी क्रम एक के हों। इस प्रकार निम्नलिखित आयामहीन चर प्राप्त होते हैं:

$$\rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},$$

यूलर संवेग समीकरणों में इन व्युत्क्रम संबंधों का प्रतिस्थापन, और फ्राउड संख्या की परिभाषा:

$$\mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},$$

और यूलर संख्या (भौतिकी):

$$\mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},$$

समीकरण अंततः व्यक्त किए गए हैं (सामग्री व्युत्पन्न के साथ और अब अनुक्रमणिका को छोड़कर):

Cauchy momentum equation (nondimensional convective form)

$${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g}$$

उच्च फ्राउड सीमा Fr → ∞ (नगण्य बाह्य क्षेत्र के अनुरूप) में कॉची-प्रकार के समीकरण को मुक्त समीकरण नाम दिया गया है। दूसरी ओर, निम्न यूलर सीमा में Eu → 0 (नगण्य तनाव के अनुरूप) सामान्य कॉची गति समीकरण एक अमानवीय बर्गर समीकरण बन जाता है (यहां हम सामग्री व्युत्पन्न को स्पष्ट करते हैं):

Burgers equation (nondimensional conservation form)

$${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g}$$

यह एक अमानवीय शुद्ध संवहन समीकरण है, जितना स्टोक्स प्रवाह एक शुद्ध प्रसार समीकरण है।

यह एक अमानवीय शुद्ध संवहन समीकरण है, जितना स्टोक्स समीकरण एक शुद्ध प्रसार समीकरण है।

यूलर संवेग समीकरण

See also: Euler equations (fluid dynamics)

यूलर संवेग समीकरण एक कॉची संवेग समीकरण है जिसमें पास्कल नियम तनाव संवैधानिक संबंध है:

$${\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I}$$

नॉनडायमेंशनल लैग्रेंजियन रूप में है:

$${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}$$

फ्री यूलर समीकरण रूढ़िवादी हैं। उच्च फ्राउड संख्या (कम बाहरी क्षेत्र) की सीमा इस प्रकार उल्लेखनीय है और गड़बड़ी सिद्धांत के साथ इसका अध्ययन किया जा सकता है।

असंपीड़ित नेवियर-स्टोक्स गति समीकरण

See also: Navier–Stokes equations § Incompressible flow

असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरण एक कॉची संवेग समीकरण है जिसमें पास्कल नियम और स्टोक्स का नियम तनाव संवैधानिक संबंध हैं:

गैर-आयामी संवहनी रूप में यह है: [7]

जहां Re रेनॉल्ड्स संख्या है। फ्री नेवियर-स्टोक्स समीकरण विघटनकारी (गैर रूढ़िवादी) हैं।

असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरण एक कॉची संवेग समीकरण है जिसमें पास्कल नियम और स्टोक्स का नियम तनाव संवैधानिक संबंध हैं:

$${\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)$$

गैर-आयामी संवहनी रूप में यह है:

$$\frac{D\mathbf{u}}{}$$