लूप इंटीग्रल

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, लूप इंटीग्रल इंटीग्रल होते हैं जो आंतरिक गति पर एक या अधिक लूप के साथ फेनमैन आरेख का मूल्यांकन करते समय दिखाई देते हैं। इन इंटीग्रल्स का उपयोग काउंटरटर्म निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जो बदले में बीटा फलन के मूल्यांकन की अनुमति देता है, जो ऊर्जा पैमाने $\mu$ पर इंटरैक्शन के लिए युग्मन $g$ की निर्भरता को एन्कोड करता है।

वन-लूप इंटीग्रल

सामान्य सूत्र

एक सामान्य वन-लूप इंटीग्रल, उदाहरण के लिए जो QED या QCD के एक-लूप पुनर्सामान्यीकरण में दिखाई देते हैं, उन्हें फॉर्म में शब्दों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

$\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {k_{\mu _{1}}\cdots k_{\mu _{n}}}{((k+q_{1})^{2}+m_{1}^{2})\cdots ((k+q_{b})^{2}+m_{b}^{2})}}$

जहां $q_{i}$ 4-संवेग हैं जो बाहरी संवेग के रैखिक संयोजन हैं, और $m_{i}$ परस्पर क्रिया करने वाले कणों के द्रव्यमान हैं। यह अभिव्यक्ति यूक्लिडियन सिग्नेचर का प्रयोग करती है। लोरेंट्ज़ियन सिग्नेचर में, हर इसके स्थान पर फॉर्म की अभिव्यक्तियों का एक गुणनफल $(k+q)^{2}-m^{2}+i\epsilon$ होगा

फेनमैन पैरामीट्रिज़ेशन का उपयोग करके, इसे फॉर्म के अभिन्नों के रैखिक संयोजन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {l_{\mu _{1}}\cdots l_{\mu _{n}}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

जहां 4-वेक्टर $l$ और $\Delta$ $q_{i},m_{i}$ और फेनमैन पैरामीटर के फलन हैं। यह अभिन्न अंग फेनमैन मापदंडों के डोमेन पर भी एकीकृत है। इंटीग्रल एक आइसोट्रोपिक टेंसर है और इसलिए इसे $l$ निर्भरता के बिना (लेकिन संभवतः आयाम $d$ पर निर्भर) एक आइसोट्रोपिक टेंसर के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे इंटीग्रल से गुणा किया जाता है।

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}.$

ध्यान दें कि यदि $n$ विषम था, तो पूर्णांक लुप्त हो जाता है, इसलिए हम $n=2a$ को परिभाषित कर सकते हैं।

अभिन्न को नियमित करना

कटऑफ नियमितीकरण

विल्सनियन पुनर्सामान्यीकरण में, कटऑफ स्केल $\Lambda >0$ निर्दिष्ट करके इंटीग्रल को परिमित बनाया जाता है। मूल्यांकन किया जाने वाला अभिन्न अंग तब होता है।

$\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

जहाँ $\int ^{\Lambda }$डोमेन $\{l\in \mathbb {R} ^{d}:|l|<\Lambda \}$ पर एकीकरण के लिए आशुलिपि है ।अभिव्यक्ति सीमित है, लेकिन सामान्य तौर पर $\Lambda \rightarrow \infty$, अभिव्यक्ति अलग हो जाती है।

आयामी नियमितीकरण

संवेग कटऑफ के बिना इंटीग्रल का मूल्यांकन इस प्रकार किया जा सकता है

$I_d(b,a,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}):={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathbb{R}}^d}\frac{d^{d}l}{{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}^d}\frac{{(l^2)}^a}{{(l^2+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})}^b}=\frac{1}{{(4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}^{d/2}}\frac{1}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(d/2)}B(b-<!--\; -\; -->$