लूप इंटीग्रल

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, लूप इंटीग्रल इंटीग्रल होते हैं जो आंतरिक गति पर एक या अधिक लूप के साथ फेनमैन आरेख का मूल्यांकन करते समय दिखाई देते हैं। इन इंटीग्रल्स का उपयोग काउंटरटर्म निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जो बदले में बीटा फ़ंक्शन के मूल्यांकन की अनुमति देता है, जो ऊर्जा पैमाने $\mu$ पर इंटरैक्शन के लिए युग्मन $g$ की निर्भरता को एन्कोड करता है।

वन-लूप इंटीग्रल

सामान्य सूत्र

एक सामान्य वन-लूप इंटीग्रल, उदाहरण के लिए जो QED या QCD के एक-लूप पुनर्सामान्यीकरण में दिखाई देते हैं, उन्हें फॉर्म में शब्दों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है

$\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {k_{\mu _{1}}\cdots k_{\mu _{n}}}{((k+q_{1})^{2}+m_{1}^{2})\cdots ((k+q_{b})^{2}+m_{b}^{2})}}$

जहां $q_{i}$ 4-संवेग हैं जो बाहरी संवेग के रैखिक संयोजन हैं, और $m_{i}$ परस्पर क्रिया करने वाले कणों के द्रव्यमान हैं। यह अभिव्यक्ति यूक्लिडियन सिग्नेचर का प्रयोग करती है। लोरेंट्ज़ियन सिग्नेचर में, हर इसके स्थान पर फॉर्म की अभिव्यक्तियों का एक गुणनफल होगा

$(k+q)^{2}-m^{2}+i\epsilon$

फेनमैन पैरामीट्रिज़ेशन का उपयोग करके, इसे फॉर्म के अभिन्नों के रैखिक संयोजन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {l_{\mu _{1}}\cdots l_{\mu _{n}}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

जहां 4-वेक्टर $l$ और $\Delta$ के कार्य हैं $q_{i},m_{i}$ और फेनमैन पैरामीटर। यह अभिन्न अंग फेनमैन मापदंडों के डोमेन पर भी एकीकृत है। इंटीग्रल एक आइसोट्रोपिक टेंसर है और इसलिए इसे बिना आइसोट्रोपिक टेंसर के रूप में लिखा जा सकता है $l$ निर्भरता (लेकिन संभवतः आयाम पर निर्भर है $d$), अभिन्न से गुणा किया गया

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}.$

ध्यान दें कि यदि $n$ विषम थे, फिर अभिन्न लुप्त हो जाता है, इसलिए हम परिभाषित कर सकते हैं $n=2a$.

अभिन्न को नियमित करना

कटऑफ नियमितीकरण

विल्सनियन पुनर्सामान्यीकरण में, कटऑफ पैमाने को निर्दिष्ट करके अभिन्न को सीमित बना दिया जाता है $\Lambda >0$. तब मूल्यांकन किया जाने वाला अभिन्न अंग है

$\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

कहाँ $\int ^{\Lambda }$ डोमेन पर एकीकरण के लिए आशुलिपि है $\{l\in \mathbb {R} ^{d}:|l|<\Lambda \}$. अभिव्यक्ति सीमित है, लेकिन सामान्य तौर पर $\Lambda \rightarrow \infty$, अभिव्यक्ति अलग हो जाती है।

आयामी नियमितीकरण

संवेग कटऑफ के बिना अभिन्न का मूल्यांकन इस प्रकार किया जा सकता है

$I_d(b,a,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}):={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathbb{R}}^d}\frac{d^{d}l}{{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}^d}\frac{{(l^2)}^a}{{(l^2+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})}^b}=\frac{1}{{(4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}^{d/2}}\frac{1}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(d/2)}B($