पैरावेक्टर

पैरावेक्टर नाम का उपयोग किसी भी क्लिफोर्ड बीजगणित में एक अदिश और एक वेक्टर के संयोजन के लिए किया जाता है, जिसे भौतिकविदों के बीच ज्यामितीय बीजगणित के रूप में जाना जाता है।

यह नाम जे.जी. मैक्स द्वारा 1989 में टेक्नीश यूनिवर्सिटिट डेल्फ़्ट, नीदरलैंड में एक डॉक्टरेट शोध प्रबंध में दिया गया था।

तीन आयामों के यूक्लिडियन अंतरिक्ष के संदर्भ में संबंधित उच्च ग्रेड सामान्यीकरण के साथ पैरावेक्टरों का पूरा बीजगणित, डेविड हेस्टेनेस द्वारा पेश किए गए स्पेसटाइम बीजगणित (एसटीए) का एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है। इस वैकल्पिक बीजगणित को भौतिक स्थान का बीजगणित (एपीएस) कहा जाता है।

मौलिक स्वयंसिद्ध

यूक्लिडियन रिक्त स्थान के लिए, मौलिक स्वयंसिद्ध इंगित करता है कि एक वेक्टर का उत्पाद स्वयं लंबाई वर्ग का अदिश मान है (सकारात्मक)

$\mathbf {v} \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$

लिखना

$\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} ,$

और इसे मौलिक स्वयंसिद्ध की अभिव्यक्ति में शामिल करना

$(\mathbf {u} +\mathbf {w} )^{2}=\mathbf {u} \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \mathbf {w} ,$

मूल सिद्धांत की फिर से अपील करने पर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +2\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} ,$

जो अनुमति देता है दो सदिशों के अदिश गुणनफल को इस प्रकार पहचानें

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} \right).$

एक महत्वपूर्ण परिणाम के रूप में हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो ऑर्थोगोनल वैक्टर (शून्य अदिश उत्पाद के साथ) एंटीकम्यूट हैं

$\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} =0$

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष

निम्नलिखित सूची इसके पूर्ण आधार का एक उदाहरण प्रस्तुत करती है $C\ell _{3}$अंतरिक्ष,

$\{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},$

जो एक आठ-आयामी स्थान बनाता है, जहां उदाहरण के लिए, एकाधिक सूचकांक संबंधित आधार वैक्टर के उत्पाद को दर्शाते हैं

$\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.$

आधार तत्व का ग्रेड वेक्टर बहुलता के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जैसे कि

Grade	Type	Basis element/s
0	Unitary real scalar	$1$
1	Vector	$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$
2	Bivector	$\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\}$
3	Trivector volume element	$\mathbf {e} _{123}$

मौलिक स्वयंसिद्ध के अनुसार, दो अलग-अलग आधार वेक्टर एंटीकम्यूट,

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}$

या दूसरे शब्दों में,

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j$

इसका मतलब है कि आयतन तत्व $\mathbf {e} _{123}$ वर्गों को $-1$

${\mathbf{e}}_{123}^2={\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_2{\mathbf{e}}_3{\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_2{\mathbf{e}}_3={\mathbf{e}}_2{\mathbf{e}}_3{\mathbf{e}}_2{\mathbf{e}}_3=$