मुक्त वस्तु

गणित में, मुक्त वस्तु का विचार अमूर्त बीजगणित की मूल अवधारणाओं में से एक है। अनौपचारिक रूप से, समुच्चय (गणित) A पर मुक्त वस्तु को A पर सामान्य बीजगणितीय संरचना के रूप में माना जा सकता है: मुक्त वस्तु के तत्वों के बीच होने वाले एकमात्र समीकरण वे हैं जो बीजगणितीय संरचना के परिभाषित सिद्धांतों से अनुसरण करते हैं। उदाहरणों में मुक्त समूह, टेन्सर बीजगणित, या मुक्त जालक सम्मिलित हैं।

अवधारणा इस अर्थ में सार्वभौमिक बीजगणित का भाग है, कि यह सभी प्रकार की बीजगणितीय संरचना (अंतिम संचालन के साथ) से संबंधित है। श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में इसका सूत्रीकरण भी है, चूँकि यह अभी और अधिक अमूर्त शब्दों में है।

परिभाषा

मुक्त वस्तुएं वेक्टर अंतरिक्ष में आधार (रैखिक बीजगणित) की धारणा की श्रेणियों (गणित) के लिए प्रत्यक्ष सामान्यीकरण हैं। सदिश समष्टियों के बीच रैखिक फलन u : E₁ → E₂ सदिश समष्टि E₁. स्थान के बीच पूरी तरह से वेक्टर स्थान के आधार पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है निम्नलिखित परिभाषा इसे किसी भी श्रेणी में अनुवादित करती है।

ठोस श्रेणी ऐसी श्रेणी है जो समुच्चय की श्रेणी निर्धारित करने के लिए प्रकार्यक से सुसज्जित है। मान ले C विश्वसनीय प्रकार्यक f : C → Set के साथ ठोस श्रेणी बनें. होने देना X समुच्चय हो (अर्थात, समुच्चय में एक वस्तु), जो परिभाषित होने वाली मुक्त वस्तु का आधार होगा। X पर मुक्त वस्तु $A=F(X)$ में C और अन्तःक्षेपण $i:X\to f(A)$ (कैनोनिकल अन्तःक्षेपण कहा जाता है) वस्तु से मिलकर बनी जोड़ी है, जो निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है:

C में किसी वस्तु के लिए B और समुच्चय के बीच किसी भी माप के लिये $\varphi :X\to f(B),$ वहां अद्वितीय आकारिकी $g:A\to B$ में C उपस्थित है जैसे कि $\varphi =f(g)\circ i.$ यही है, अर्थात्, निम्नलिखित आरेख आवागमन करता है:

${\begin{array}{c}X\xrightarrow {\quad i\quad } f(A)\\{}_{\varphi }\searrow \quad \swarrow {}_{f(g)}\\f(B)\quad \\\end{array}}$

यदि मुक्त वस्तुएं C में उपस्थित हैं , तो यह सत्यापित करने के लिए सीधा है कि सार्वभौमिक गुण का तात्पर्य है कि दो समुच्चयों के बीच का प्रत्येक माप उन पर निर्मित मुक्त वस्तुओं के बीच अद्वितीय आकारिकी उत्पन्न करता है, और यह फ़नकार $F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} .$ को परिभाषित करता है यह इस प्रकार है कि, यदि C मुक्त वस्तुएँ उपस्थित हैं, तो प्रकार्यक F, जिसे मुक्त-वस्तु प्रकार्यक कहा जाता है, अनवहित प्रकार्यक f के लिए बायाँ अनुलग्न है; अर्थात् आक्षेप होता है

$\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,f(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).$

उदाहरण

मुक्त वस्तुओं का निर्माण दो चरणों में होता है। सहयोगी नियम के अनुरूप बीजगणित के लिए, पहला चरण वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) से बने सभी संभावित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के संग्रह पर विचार करना है। फिर शब्दों पर तुल्यता संबंधों का समुच्चय लगाया जाता है, जहां संबंध बीजगणितीय वस्तु के परिभाषित संबंध होते हैं। तब मुक्त वस्तु में तुल्यता वर्गों का समूह होता है।

उदाहरण के लिए, समूह के दो जनरेटिंग समुच्चय में मुक्त समूह के निर्माण पर विचार करें। पाँच अक्षरों $\{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}$ से मिलकर वर्णमाला से प्रांरम होता है. पहले चरण में, अक्षरों $a^{-1}$ या $b^{-1}$ को अभी तक कोई नियत अर्थ नहीं दिया गया है; इन्हें बाद में, दूसरे चरण में दिया जाएगा। इस प्रकार, कोई समान रूप से अच्छी तरह से पाँच अक्षरों में $S=\{a,b,c,d,e\}$ वर्णमाला के साथ प्रांरम कर सकता है। इस उदाहरण में, सभी शब्दों या स्ट्रिंग्स का समुच्चय $W(S)$ हर संभव क्रम में व्यवस्थित अक्षरों के साथ, एबेसेडे और एबीसी, और इसी तरह, मनमाने ढंग से परिमित लंबाई के तार सम्मिलित होंगे।

अगले चरण में, तुल्यता संबंधों का समुच्चय लगाया जाता है। समूह (गणित) के लिए तुल्यता संबंध पहचान $ge=eg=g$ द्वारा गुणन के हैं, और व्युत्क्रमों का गुणन: $gg^{-1}=g^{-1}g=e$. इन संबंधों को ऊपर के तार पर प्रायुक्त करने पर, प्राप्त होता है

$aebecede=aba^{-1}b^{-1},$

जहां यह समझ में आया कि $a^{-1}$ के लिए $c$ स्टैंड-इन है, और $b^{-1}$ के लिए $d$ स्टैंड-इन है, जबकि $e$ पहचान तत्व है। इसी प्रकार, एक है

$abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.$

द्वारा तुल्यता संबंध या सर्वांगसमता संबंध को नकारना $\sim$मुक्त वस्तु तब शब्दों के समतुल्य वर्गों का संग्रह है। इस प्रकार, इस उदाहरण में, दो जनरेटर में मुक्त समूह भागफल समुच्चय है

$F_2=W(S)$