पॉसों वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, पॉइसन वितरण असतत संभाव्यता वितरण है जो समय या सम्मिस्ट के निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की दी गई संख्या की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं ज्ञात निरंतर औसत दर के साथ और स्वतंत्र रूप से समय से घटित होती हैं। अंतिम घटना इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन (/ˈpwɑːsɒn/; French pronunciation: ​[pwasɔ̃]) के नाम पर रखा गया है। पॉइसन वितरण का उपयोग अन्य निर्दिष्ट अंतराल प्रकारों जैसे दूरी, क्षेत्र या आयतन में घटनाओं की संख्या के लिए भी किया जा सकता है। यह असतत-स्थिर वितरण के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

उदाहरण के लिए, कॉल सेंटर को प्रतिदिन 24 घंटे प्रति घंटे औसतन 180 कॉल प्राप्त होती हैं। कॉल स्वतंत्र हैं; प्राप्त करने से अगला कब आएगा इसकी संभावना नहीं बदलती है। किसी भी मिनट के समय प्राप्त कॉलों की संख्या में माध्य 3 के साथ पॉइसन संभाव्यता वितरण होता है: सबसे अधिक संभावित संख्याएं 2 और 3 हैं किंतु 1 और 4 भी संभावित हैं और इसके शून्य के समान होने की बहुत कम संभावना है और बहुत कम संभावना है यह 10 हो सकता है.

एक अन्य उदाहरण परिभाषित अवलोकन अवधि के समय रेडियोधर्मी स्रोत से होने वाली क्षय घटनाओं की संख्या होती है।

इतिहास

वितरण पहली बार शिमोन डेनिस पॉइसन (1781-1840) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और आपराधिक और नागरिक स्थितियों में निर्णय की संभावना पर उनके फलन अनुसंधान (1837) में उनके संभाव्यता सिद्धांत के साथ प्रकाशित किया गया था। इस फलन ने कुछ यादृच्छिक चर पर N ध्यान केंद्रित करके किसी दिए गए देश में गलत सजाओं की संख्या के बारे में सिद्धांत दिया गया है जो अन्य बातबं के अतिरिक्त दी गई लंबाई के समय-अंतराल के समय होने वाली अलग-अलग घटनाओं (कभी-कभी घटनाएँ या आगमन भी कहा जाता है) की संख्या की गणना करता है। परिणाम पहले ही 1711 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा डी मेन्सुरा सॉर्टिस सेउ में दिया जा चुका था; लुडिस ए कैसु फोर्टुइटो पेंडेंटिबस में डी प्रोबेबिलिटेट इवेंटम है। यह इसे स्टिगलर के नियम का उदाहरण बनाता है और इसने कुछ लेखकों को यह तर्क देने के लिए प्रेरित किया जाता है कि पॉइसन वितरण पर डी मोइवर का नाम होना चाहिए।

1860 में, साइमन न्यूकॉम्ब ने अंतरिक्ष की इकाई में पाए जाने वाले तारों की संख्या के लिए पॉइसन वितरण को फिट किया गया था। इस वितरण का और वास्तविक अनुप्रयोग 1898 में लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ द्वारा किया गया था जब उन्हें प्रशिया सेना में घोड़े की लात से दुर्घटनावश मारे गए सैनिकों की संख्या की जांच करने का काम दिया गया था; इस प्रयोग ने पॉइसन वितरण को विश्वसनीयता इंजीनियरिंग के क्षेत्र में प्रस्तुत किया था ।

परिभाषाएँ

प्रायिकता द्रव्यमान फलन

एक असतत यादृच्छिक चर X को पॉइसन वितरण कहा जाता है पैरामीटर $\lambda >0,$ के साथ यदि इसमें संभाव्यता द्रव्यमान फलन दिया गया है:

$f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},$

जहाँ

• k घटनाओं की संख्या ($k=0,1,2,\ldots$) है
• eई (गणितीय स्थिरांक) यूलर की संख्या ($e=2.71828\ldots$) है|
• ! भाज्य फलन है.

सकारात्मक वास्तविक संख्या λ X के अपेक्षित मान और इसके विचरण के समान है।

$\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).$

पॉइसन वितरण को बड़ी संख्या में दुर्लभ घटनाओं वाले प्रणाली पर प्रयुक्त किया जा सकता है | इस प्रकार बड़ी संख्या में संभावित घटनाएं, जिनमें से प्रत्येक दुर्लभ है। निश्चित समय अंतराल के समय होने वाली ऐसी घटनाओं की संख्या, सही परिस्थितियों में पॉइसन वितरण के साथ यादृच्छिक संख्या होती है।

समीकरण को अनुकूलित किया जा सकता है यदि, घटनाओं की औसत संख्या $\lambda ,$ के अतिरिक्त हमें वह औसत दर $r$ दी जाए जिस पर घटनाएं घटित होती हैं। फिर $\lambda =rt,$ और:

$P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.$

उदाहरण

फुटपाथ पर च्युइंग गम चबाना। टाइल पर च्युइंग गम की संख्या लगभग पॉइसन वितरित होती है।

पॉइसन वितरण निम्नलिखित घटनाओं को मॉडल करने के लिए उपयोगी हो सकता है:

• एक वर्ष में पृथ्वी से टकराने वाले 1 मीटर से अधिक व्यास वाले उल्कापिंडों की संख्या हैं|
• एक विशेष समय अंतराल में डिटेक्टर से टकराने वाले लेजर फोटॉनों की संख्या होती हैं|
• किसी परीक्षा में निम्न और उच्च अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या हैं।

मान्यताएँ और वैधता

यदि निम्नलिखित धारणाएँ सत्य हैं तब पॉइसन वितरण उपयुक्त मॉडल होता है|

• k किसी अंतराल में किसी घटना के घटित होने की संख्या है और k मान 0, 1, 2,.. ले सकता है।
• एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना घटित होने की संभावना प्रभावित नहीं होती हैं। अर्थात् घटनाएँ स्वतंत्र रूप से घटित होती हैं।
• घटनाएँ घटित होने की औसत दर किसी भी घटना से स्वतंत्र होती है। सरलता के लिए, इसे सामान्यतः स्थिर माना जाता है, किंतु व्यवहार में समय के साथ इसमें बदलाव हो सकता है।
• दो घटनाएँ बिल्कुल ही क्षण में घटित नहीं हो सकतीं; इसके अतिरिक्त , प्रत्येक बहुत छोटे उप-अंतराल पर, या तब बिल्कुल घटना घटती है, या कोई घटना नहीं घटती है।

यदि ये स्थितियाँ सत्य हैं, तब k पॉइसन यादृच्छिक चर है, और k का वितरण पॉइसन वितरण है।

पॉइसन वितरण भी द्विपद वितरण की सीमा (गणित) है, जिसके लिए प्रत्येक परीक्षण की सफलता की संभावना परीक्षणों की संख्या से विभाजित λ समान होती है चूँकि परीक्षणों की संख्या अनंत तक पहुंचती है (या संबंधित वितरण देखें)।

पॉइसन वितरण के लिए संभाव्यता के उदाहरण

किसी विशेष नदी पर, अतिप्रवाह बाढ़ औसतन हर 100 वर्ष में एक बार आती है। पोइसन मॉडल को उपयुक्त मानते हुए k = 100 वर्ष के अंतराल में k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, या 6 अतिप्रवाह बाढ़, की संभावना की गणना करें।

चूँकि औसत घटना दर प्रति 100 वर्षों में एक अतिप्रवाह बाढ़ है, λ = 1

$P(k{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}={\frac {1^{k}e^{-1}}{k!}}$

$P(k=0{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368$

$P(k=1{\text{ overflow flood in 100 years}})={\frac {1^{1}e^{-1}}{1!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368$

$P(k=2{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {1^{2}e^{-1}}{2!}}={\frac {e^{-1}}{2}}\approx 0.184$

k	P(k overflow floods in 100 years)
0	0.368
1	0.368
2	0.184
3	0.061
4	0.015
5	0.003
6	0.0005

100 वर्ष की अवधि में 0 से 6 अतिप्रवाह बाढ़ की संभावना।

मारिया डोलोरेस उगार्टे और सहकर्मियों की रिपोर्ट है कि विश्व कप फुटबॉल मैच में गोलों की औसत संख्या लगभग 2.5 है और पॉइसन मॉडल उपयुक्त है।

चूँकि औसत घटना दर प्रति मैच 2.5 गोल है, λ = 2.5 .

$P$