रुकने का समय

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संभाव्यता सिद्धांत में, विशेष रूप से स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में, एक रुकने का समय (मार्कोव समय, मार्कोव क्षण, वैकल्पिक रुकने का समय या वैकल्पिक समय) एक विशिष्ट प्रकार का "यादृच्छिक समय" है: एक यादृच्छिक चर जिसका मूल्य उस समय के रूप में व्याख्या किया जाता है जिस पर एक दी गई स्टोकेस्टिक प्रक्रिया रुचि का एक निश्चित व्यवहार प्रदर्शित करती है। रुकने के समय को अधिकांशतः एक रुकने के नियम द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो वर्तमान स्थिति और पिछली घटनाओं के आधार पर किसी प्रक्रिया को जारी रखने या रोकने का निर्णय लेने के लिए एक तंत्र है, और जो लगभग सदैव किसी सीमित समय पर रुकने का निर्णय लेना होगा।

निर्णय सिद्धांत में रुकने का समय होता है, और वैकल्पिक रोक प्रमेय इस संदर्भ में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। जैसा कि चुंग ने अपनी पुस्तक (1982) में कहा है, "समय की सातत्यता को वश में करने" के लिए रुकने के समय को गणितीय प्रमाणों में भी अधिकांशतः प्रयुक्त किया जाता है।

परिभाषा

असतत समय

मान लीजिए कि $\tau$ एक यादृच्छिक चर है, जिसे फ़िल्टर किए गए संभाव्यता समिष्ट $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} },P)$ पर $\mathbb {N} \cup \{+\infty \}$ के मानों के साथ परिभाषित किया गया है। तब $\tau$ को रुकने का समय कहा जाता है (फ़िल्टरेशन $\mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ के संबंध में), यदि निम्नलिखित नियम प्रयुक्त होती है:

$\{\tau =n\}\in {\mathcal {F}}_{n}$ सभी $n$ के लिए

सामान्यतः, इस स्थिति का अर्थ है कि समय $n$ पर रुकना है या नहीं इसका "निर्णय" केवल समय $n$ पर उपस्थित जानकारी पर आधारित होना चाहिए, भविष्य की किसी भी जानकारी पर नहीं है ।

सामान्य स्थिति

मान लीजिए कि $\tau$ एक यादृच्छिक चर है, जिसे फ़िल्टर किए गए संभाव्यता समिष्ट $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)$ पर $T$ में मानों के साथ परिभाषित किया गया है। अधिकतर स्थिति में, $T=[0,+\infty )$ तब $\tau$ को रुकने का समय कहा जाता है (फ़िल्टरेशन $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ के संबंध में), यदि निम्नलिखित नियम प्रयुक्त होती है:

$\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ सभी $t\in T$ के लिए

अनुकूलित प्रक्रिया के रूप में

मान लीजिए कि $\tau$ एक यादृच्छिक चर है, जिसे फ़िल्टर किए गए संभाव्यता समिष्ट $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)$ पर $T$ में मानों के साथ परिभाषित किया गया है। तब $\tau$ को रुकने का समय कहा जाता है यदि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $X=(X_{t})_{t\in T}$ द्वारा परिभाषित है

$X_{t}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}t<\tau \\0&{\text{ if }}t\geq \tau \end{cases}}$

निस्पंदन $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ के लिए अनुकूलित है।

टिप्पणियाँ

कुछ लेखक स्पष्ट रूप से उन मामलों को बाहर कर देते हैं जहां $\tau$ $+\infty$ हो सकता है, जबकि अन्य लेखक $\tau$ को $T$ के समापन में कोई भी मान लेने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण

यादृच्छिक समय के कुछ उदाहरणों को स्पष्ट करने के लिए जो नियमों को रोक रहे हैं और कुछ जो नहीं हैं, एक जुआरी को एक सामान्य घरेलू बढ़त के साथ रूलेट खेलने पर विचार करें, जो $100 से प्रारंभ होता है और प्रत्येक खेल में लाल रंग पर $1 का दांव लगाता है:

• ठीक पाँच गेम खेलना रुकने के समय τ = 5 से मेल खाता है, और यह रुकने का नियम है।
• जब तक उनके पास पैसे ख़त्म न हो जाएं या 500 गेम न खेल लें, तब तक खेलना बंद करने का नियम है।
• जब तक वे अधिकतम राशि आगे न पहुंच जाएं तब तक खेलना कोई रुकने का नियम नहीं है और न ही रुकने का समय प्रदान करता है, क्योंकि इसके लिए भविष्य के साथ-साथ वर्तमान और अतीत के बारे में जानकारी की आवश्यकता होती है।
• जब तक वे अपना पैसा दोगुना नहीं कर लेते (यदि आवश्यक हो तो उधार लेना) खेलना कोई बंद करने वाला नियम नहीं है, क्योंकि इस बात की धनात्मक संभावना है कि वे कभी भी अपना पैसा दोगुना नहीं करेंगे।
• जब तक उनका पैसा दोगुना न हो जाए या पैसा खत्म न हो जाए, तब तक खेलना बंद करने का नियम है, तथापि उनके द्वारा खेले जाने वाले गेम की संख्या की संभावित रूप से कोई सीमा नहीं है, क्योंकि उनके एक सीमित समय में बंद होने की संभावना 1 है।

रुकने के समय की अधिक सामान्य परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए, ब्राउनियन गति पर विचार करें, जो एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है $(B_{t})_{t\geq 0}$ जहां प्रत्येक $B_{t}$ संभाव्यता समिष्ट $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ पर परिभाषित एक यादृच्छिक चर है। हम इस संभाव्यता समिष्ट पर एक निस्पंदन को परिभाषित करते हैं ${\mathcal {F}}_{t}$ को फॉर्म $(B_{s})^{-1}(A)$ के सभी सेटों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित मानकर, जहां $0\leq s\leq t$ और $A\subseteq \mathbb {R}$ एक बोरेल समुच्चय है। सहज रूप से, एक घटना E में है ${\mathcal {F}}_{t}$ यदि और केवल यदि हम केवल समय 0 से समय t तक ब्राउनियन गति को देखकर यह निर्धारित कर सकते हैं कि E सही है या गलत हो सकता है।

• प्रत्येक स्थिरांक $\tau :=t_{0}$ (सामान्यतः) एक रुकने का समय है; यह रुकने के नियम के अनुरूप है "समय $\tau :=t_{0}$ पर रुकें।
• मान लीजिए कि $a\in \mathbb {R} .$ तो $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$