समान अभिसरण

विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, समान अभिसरण बिंदुवार अभिसरण से अधिक प्रबल कार्यों के अभिसरण का एक विधि है। कार्य का एक क्रम $(f_{n})$ सेट $E$ पर कार्य डोमेन के रूप में एक सीमित कार्य $f$ में समान रूप से परिवर्तित होता है, यदि कोई इच्छानुसार से छोटी सकारात्मक संख्या $\epsilon$ दी गई हो, तो एक संख्या $N$ पाया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक कार्य $f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots$ $E$ में प्रत्येक बिंदु $x$ पर $f$ से $\epsilon$ से अधिक भिन्न नहीं है। अनौपचारिक विधि से वर्णित है, यदि $f_{n}$ समान रूप से $f$ में परिवर्तित होता है, तो वह दर जिस पर$f_{n}(x)$, $f(x)$ तक पहुंचता है निम्नलिखित अर्थों में अपने संपूर्ण डोमेन में "समान" है: यह दिखाने के लिए कि $f_{n}(x)$समान रूप से एक निश्चित दूरी $f(x)$के अंदर आता है, हमें प्रश्न में $\epsilon$ का मान जानने की आवश्यकता नहीं है — प्रश्न में $x\in E$ का एक ही मान पाया जा सकता है -$N=N(\epsilon )$ का एक ही मान पाया जा सकता है से स्वतंत्र, जैसे कि $n\geq N$ चुनने से यह सुनिश्चित हो जाएगा कि $f_{n}(x)$ सभी $x\in E$ के लिए $f(x)$ के $\epsilon$ के अंदर है। इसके विपरीत, $f_{n}$ से $f$ का बिंदुवार अभिसरण केवल यह आश्वासन देता है कि पहले से दिए गए किसी भी $x\in E$ के लिए, हम $N=N(\epsilon ,x)$ पा सकते हैं (अथार्त , $N$, $x$ के मान पर निर्भर हो सकता है) जैसे कि, उस विशेष $x$ के लिए,$f_{n}(x)$ $\epsilon$ के अंतर्गत आता है $f(x)$ का जब भी $n\geq N$ (एक अलग x को बिंदुवार अभिसरण के लिए एक अलग N की आवश्यकता होती है)।

कैलकुलस के इतिहास में आरंभ में समान अभिसरण और बिंदुवार अभिसरण के बीच अंतर को पूरी तरह से सराहा नहीं गया था, जिससे दोषपूर्ण तर्क के उदाहरण सामने आए। यह अवधारणा, जिसे पहली बार कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था, महत्वपूर्ण है क्योंकि कार्यों $f_{n}$ के कई गुण, जैसे निरंतरता, रीमैन इंटीग्रेबिलिटी, और, अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ, भिन्नता, अभिसरण होने पर सीमा $f$ में स्थानांतरित हो जाते हैं एक समान है, किंतु जरूरी नहीं कि अभिसरण एक समान न हो।

इतिहास

1821 में ऑगस्टिन-लुई कॉची ने एक प्रमाण प्रकाशित किया कि निरंतर कार्यों का एक अभिसरण योग सदैव निरंतर होता है, जिसके लिए 1826 में नील्स हेनरिक एबेल ने फूरियर श्रृंखला के संदर्भ में कथित प्रति-उदाहरण पाए, यह तर्क देते हुए कि कॉची का प्रमाण गलत होना चाहिए। उस समय अभिसरण की पूरी तरह से मानक धारणाएं उपस्थित नहीं थीं, और कॉची ने अनंत विधियों का उपयोग करके अभिसरण को संभाला जाता है। आधुनिक भाषा में कहें तो, कॉची ने जो सिद्ध किया वह यह है कि निरंतर कार्यों के एक समान रूप से अभिसरण अनुक्रम की एक निरंतर सीमा होती है। निरंतर कार्यों को एक सतत कार्य में परिवर्तित करने के लिए केवल बिंदुवार-अभिसरण सीमा की विफलता कार्यों के अनुक्रमों को संभालते समय विभिन्न प्रकार के अभिसरण के बीच अंतर करने के महत्व को दर्शाती है।

वर्दी अभिसरण शब्द का प्रयोग संभवत: सबसे पहले क्रिस्टोफ गुडेरमैन ने 1838 में अण्डाकार कार्यों पर एक पेपर में किया था, जहां उन्होंने "समान विधि से अभिसरण" वाक्यांश का प्रयोग तब किया था जब एक श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$ का "अभिसरण का विधि " चर से स्वतंत्र होता है। $\phi$ और $\psi .$ जबकि उन्होंने सोचा कि यह एक "उल्लेखनीय तथ्य" है जब एक श्रृंखला इस तरह से मिलती है, उन्होंने कोई औपचारिक परिभाषा नहीं दी, न ही अपने किसी भी प्रमाण में संपत्ति का उपयोग किया।

बाद में गुडरमैन के शिष्य कार्ल वेइरस्ट्रैस, जिन्होंने 1839-1840 में अण्डाकार कार्यों पर उनके पाठ्यक्रम में भाग लिया था, ने ग्लीचमाज़िग कन्वर्जेंट (जर्मन: समान रूप से अभिसरण) शब्द गढ़ा, जिसका उपयोग उन्होंने 1894 में प्रकाशित अपने 1841 के पेपर ज़ूर थियोरी डेर पोटेंज़रेइहेन में किया। स्वतंत्र रूप से, समान अवधारणाएं थीं फिलिप लुडविग वॉन सीडेल और जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स द्वारा व्यक्त। जी. एच. हार्डी ने अपने पेपर "सर जॉर्ज स्टोक्स और एक समान अभिसरण की अवधारणा" में तीन परिभाषाओं की तुलना की और टिप्पणी की: "वीयरस्ट्रैस की खोज सबसे प्रारंभिक थी, और उन्होंने अकेले ही विश्लेषण के मौलिक विचारों में से एक के रूप में इसके दूरगामी महत्व को पूरी तरह से अनुभव किया।"

वीयरस्ट्रैस और बर्नहार्ड रीमैन के प्रभाव में इस अवधारणा और संबंधित प्रश्नों का 19वीं शताब्दी के अंत में हरमन हैंकेल, पॉल डू बोइस-रेमंड, यूलिसिस दीनी, सेसारे अर्ज़ेला और अन्य द्वारा गहन अध्ययन किया गया था।

परिभाषा

हम पहले वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए समान अभिसरण को परिभाषित करते हैं | वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन, चूँकि अवधारणा को मीट्रिक स्थान और अधिक सामान्यतः एकसमान स्थान (यूनिफ़ॉर्म कन्वर्जेंस या सामान्यीकरण देखें) के लिए कार्य मैपिंग के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

मान लीजिए कि $E$ एक समुच्चय है और $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ उस पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक क्रम है। हम कहते हैं कि अनुक्रम $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , $E$ पर सीमा $f:E\to \mathbb {R}$ के साथ समान रूप से अभिसरण है यदि प्रत्येक $\epsilon >0,$ के लिए, एक प्राकृतिक संख्या $N$ उपस्थित है जैसे कि सभी $n\geq N$ के लिए और सभी $x\in E$ के लिए है

$|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .$