रेले भागफल

गणित में, किसी दिए गए सम्मिश्र हर्मिटियन आव्यूह $M$ और अशून्य सदिश (ज्यामिति) $x$ के लिए रेले भागफल (/ˈreɪ.li/) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.$$

वास्तविक आव्यूहों और सदिशों के लिए, हर्मिटियन होने की शर्त कम होकर सममित आव्यूह और संयुग्मी स्थानान्तरण हो जाती है $x^{*}$ सामान्य स्थानांतरण के लिए $x'$. ध्यान दें कि $R(M,cx)=R(M,x)$ किसी भी गैर-शून्य अदिश के लिए$c$. याद रखें कि हर्मिटियन (या वास्तविक सममित) मैट्रिक्स वर्णक्रमीय प्रमेय है। यह दिखाया जा सकता है कि, किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए, रेले भागफल अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है $\lambda _{\min }$ (सबसे छोटा eigenvalue$M$) कब$x$है $v_{\min }$ (संबंधित eigenvector)। इसी प्रकार, $R(M,x)\leq \lambda _{\max }$ और $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }$.

रेले भागफल का उपयोग न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय में सभी eigenvalues ​​​​के सटीक मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग आइजेनवेक्टर सन्निकटन से आइगेनवैल्यू सन्निकटन प्राप्त करने के लिए eigenvalue एल्गोरिथ्म (जैसे कि रेले भागफल पुनरावृत्ति) में भी किया जाता है।

रेले भागफल की सीमा (किसी भी मैट्रिक्स के लिए, जरूरी नहीं कि हर्मिटियन) को संख्यात्मक सीमा कहा जाता है और इसमें इसका स्पेक्ट्रम_(कार्यात्मक_विश्लेषण) शामिल होता है। जब मैट्रिक्स हर्मिटियन होता है, तो संख्यात्मक त्रिज्या वर्णक्रमीय मानदंड के बराबर होती है। अभी भी कार्यात्मक विश्लेषण में, $\lambda _{\max }$ वर्णक्रमीय त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। के सन्दर्भ में $C^{\star }$-बीजगणित या बीजगणितीय क्वांटम यांत्रिकी, वह कार्य$M$रेले-रिट्ज भागफल को जोड़ता है $R(M,x)$ निश्चित के लिए$x$और$M$बीजगणित के माध्यम से परिवर्तन को बीजगणित की सदिश अवस्था के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

क्वांटम यांत्रिकी में, रेले भागफल ऑपरेटर के अनुरूप अवलोकनीय का अपेक्षित मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी) देता है$M$ ऐसी प्रणाली के लिए जिसका राज्य दिया गया है$x$.

यदि हम जटिल मैट्रिक्स को ठीक करते हैं$M$, फिर परिणामी रेले भागफल मानचित्र (के फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है$x$) पूर्णतः निर्धारित करता है$M$ध्रुवीकरण पहचान#कॉम्प्लेक्स संख्याओं के माध्यम से; वास्तव में, यदि हम अनुमति दें तो भी यह सत्य है$M$गैर-हर्मिटियन होना। (हालाँकि, यदि हम अदिशों के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं तक सीमित रखते हैं, तो रेले भागफल केवल सममित मैट्रिक्स भाग को निर्धारित करता है$M$.)

हर्मिटियन एम के लिए सीमाएं

जैसा कि परिचय में कहा गया है, किसी भी वेक्टर x के लिए, के पास है $R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]$, कहाँ $\lambda _{\min },\lambda _{\max }$ क्रमशः सबसे छोटे और सबसे बड़े eigenvalues ​​​​हैं $M$. यह देखने के तुरंत बाद है कि रेले भागफल एम के eigenvalues ​​​​का भारित औसत है:

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

कहाँ $(\lambda _{i},v_{i})$ है $i$-ऑर्थेनॉर्मलिजटी के बाद एजेनपिर भी समाप्त हो जाता है $y_{i}=v_{i}^{*}x$ है $i$ईजेनबेसिस में x का वां निर्देशांक। फिर यह सत्यापित करना आसान है कि सीमाएं संबंधित आइजनवेक्टरों पर प्राप्त हो गई हैं $v_{\min },v_{\max }$.

तथ्य यह है कि भागफल eigenvalues ​​​​का भारित औसत है, इसका उपयोग दूसरे, तीसरे, ... सबसे बड़े eigenvalues ​​​​की पहचान करने के लिए किया जा सकता है। होने देना $\lambda _{\max }=\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}=\lambda _{\min }$ घटते क्रम में eigenvalues ​​​​हो। अगर $n=2$ और $x$ ओर्थोगोनल होने के लिए बाध्य है $v_{1}$, किस स्थिति में $y_{1}=v_{1}^{*}x=0$, तब $R(M,x)$ अधिकतम मूल्य है ${}_{}$