उपव्युत्पन्न

एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ $x_{0}$ (लाल)।

गणित में, सबयौगिक , सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को उत्तल फलन के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। उत्तल विश्लेषण में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल फलन का अध्ययन, अक्सर उत्तल अनुकूलन के संबंध में उपयोग किया जाता है।

माना $f:I\to \mathbb {R}$ वास्तविक रेखा के संवृत अंतराल पर परिभाषित वास्तविक संख्या-मूल्यवान उत्तल फलन बनें थे। ऐसे फलन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन $f(x)=|x|$ जब यह गैर-विभेदित $x=0$ होता है चूँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ $f(x)$ नीले रंग में निरपेक्ष मान फलन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए $x_{0}$ फलन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु $(x_{0},f(x_{0}))$ से होकर जाती है और जो प्रत्येक समिष्ट या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की स्लोप को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा

कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न $f:I\to \mathbb {R}$ बिंदु पर $x_{0}$ संवृत अंतराल में $I$ वास्तविक संख्या $c$ है ऐसा है कि

$$f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})$$

सभी के लिए $x\in I$. माध्य मान प्रमेय के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित) $x_{0}$ उत्तल फलन के लिए खाली समुच्चय विवृत अंतराल है $[a,b]$, जहाँ $a$ और $b$ एकतरफ़ा सीमाएँ हैं

$$a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$$

$$b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.$$

समुच्चय $[a,b]$ सभी उपअवकलन को फलन $f$ पर $x_{0}$, द्वारा चिह्नित $\partial f(x_{0})$ का उपविभेदक कहा जाता है. यदि $f$ उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अतिरिक्त, यदि यह उपविभेदक $x_{0}$ है इसमें बिल्कुल उप-व्युत्पन्न सम्मिलित है इस प्रकार $\partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}$ और $f$ पर भिन्न $x_{0}$ है

उदाहरण

फलन $f(x)=|x|$ पर विचार करें जो उत्तल है. फिर $[-1,1]$ मूल पर उपविभेदक अंतराल है . किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $x_{0}<0$ सिंगलटन समुच्चय $\{-1\}$ है , जबकि किसी भी बिंदु पर उपविभेदक $x_{0}>0$ सिंगलटन समुच्चय $\{1\}$ है यह साइन फलन के समान है, किन्तु एकल-मूल्यवान $0$ नहीं है , इसके अतिरिक्त सभी संभावित उप-व्युत्पन्न सम्मिलित हैं।

गुण

• एक उत्तल कार्य $f:I\to \mathbb {R}$ पर भिन्न $x_{0}$ है यदि और केवल यदि उपविभेदक सिंगलटन समुच्चय है, जो $\{f'(x_{0})\}$ है .
• एक बिंदु $x_{0}$ उत्तल फलन का वैश्विक न्यूनतम $f$