बेथ संख्या

गणित में, विशेष रूप से सेट सिद्धांत में, बेथ संख्याएं अनंत सेट कार्डिनल संख्याओं (जिन्हें ट्रांसफिनिट संख्याओं के रूप में भी जाना जाता है) का एक निश्चित अनुक्रम है, पारंपरिक रूप से लिखा गया है $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$, कहाँ $\beth$ दूसरा हिब्रू वर्णमाला (शर्त (अक्षर)) है। बेथ संख्याएं एलेफ़ संख्याओं से संबंधित हैं ($\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$), परंतु जब तक सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना सत्य नहीं होती, तब तक संख्याओं को अनुक्रमित किया जाता है $\aleph$ जिन्हें अनुक्रमित नहीं किया गया है $\beth$.

परिभाषा

बेथ संख्याओं को ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है:

• $\beth _{0}=\aleph _{0},$
• $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$
• $\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \},$

कहाँ $\alpha$ एक क्रमसूचक है और $\lambda$ एक सीमा क्रमसूचक है. कार्डिनल $\beth _{0}=\aleph _{0}$ सेट जैसे किसी भी गणनीय अनंत सेट (गणित) की कार्डिनैलिटी है $\mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्याओं का, ताकि $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$.

होने देना $\alpha$ एक क्रमसूचक बनें, और $A_{\alpha }$ कार्डिनलिटी के साथ एक सेट बनें $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$. तब,

• ${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ के सत्ता स्थापित को दर्शाता है $A_{\alpha }$ (अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय $A_{\alpha }$),
• सेट $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ से सभी कार्यों के सेट को दर्शाता है $A_{\alpha }$ {0,1} तक,
• कार्डिनल $2^{\beth _{\alpha }}$ कार्डिनल घातांक का परिणाम है, और
• $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=|2^{A_{\alpha }}|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|$ के पावर सेट की कार्डिनैलिटी है $A_{\alpha }$.

इस परिभाषा को देखते हुए,

$\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$

क्रमशः की प्रमुखताएँ हैं

$\mathbb {N} ,\ {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\ \dots .$

ताकि दूसरा बेथ नंबर हो $\beth _{1}$ के बराबर है ${\mathfrak {c}}$, सातत्य की कार्डिनैलिटी (वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी), और तीसरी बेथ संख्या $\beth _{2}$ सातत्य के शक्ति सेट की प्रमुखता है।

कैंटर के प्रमेय के कारण, पूर्ववर्ती अनुक्रम में प्रत्येक सेट की कार्डिनैलिटी उसके पूर्ववर्ती की तुलना में सख्ती से अधिक है। अनंत सीमा वाले ऑर्डिनल्स के लिए, λ, संबंधित बेथ संख्या को λ से बिल्कुल छोटे सभी ऑर्डिनल्स के लिए बेथ संख्याओं के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

कोई यह भी दिखा सकता है कि वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड $V_{\omega +\alpha }$ प्रमुखता है $\beth _{\alpha }$.

एलेफ़ संख्याओं से संबंध

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत कार्डिनैलिटी कुल क्रम हैं; कोई भी दो प्रमुखताएँ तुलनीय होने में असफल नहीं हो सकतीं। इस प्रकार, चूँकि परिभाषा के अनुसार कोई भी अनंत कार्डिनैलिटी बीच में नहीं है ${\di$