बहुपद वितरण

Multinomial

Parameters	$n>0$ number of trials (integer) $k>0$ number of mutually exclusive events (integer) $p_{1},\ldots ,p_{k}$ event probabilities, where $p_{1}+\dots +p_{k}=1$
Support	$\left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}>0(i=1,\dots ,k)\right\rbrace$
PMF	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$
Mean	$\operatorname {E} (X_{i})=np_{i}$
Variance	$\operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)$
Entropy	$-\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)$
MGF	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}$
CF	$\left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}$ where $i^{2}=-1$
PGF	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}z_{i}{\biggr )}^{n}{\text{ for }}(z_{1},\ldots ,z_{k})\in \mathbb {C} ^{k}$

संभाव्यता सिद्धांत में, बहुपद वितरण द्विपद वितरण का सामान्यीकरण है। उदाहरण के लिए, यह k-पक्षीय पासे को n बार घुमाने पर प्रत्येक पक्ष की गिनती की संभावना को मॉडल करता है। n सांख्यिकीय स्वतंत्रता परीक्षणों के लिए, जिनमें से प्रत्येक के श्रेणियों में से किसी एक के लिए सफलता की ओर ले जाता है, प्रत्येक श्रेणी में निश्चित सफलता की संभावना होती है, बहुपद वितरण संख्याओं के किसी विशेष संयोजन की संभावना देता है विभिन्न श्रेणियों के लिए सफलताएँ।

जब k 2 है एवं n 1 है,