त्रिगामा फलन

For 3 चरों का बार्न्स का गामा फलन, see त्रिगुण गामा फलन.

त्रिगामा फलन का रंग प्रतिनिधित्व, ψ₁(z), जटिल तल के एक आयताकार क्षेत्र में। यह डोमेन रंग विधि का उपयोग करके उत्पन्न होता है।

गणित में, त्रिगामा फलन, जिसे ψ₁(z) या ψ⁽¹⁾(z) कहा जाता है, बहुगामा फलनों में से दूसरा है, और इसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।

$\psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$.

इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$\psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)$

जहां ψ(z) डिगामा फलन है। इसे शृंखला के योग के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

$\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},$

इसे हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन का एक विशेष स्तिथि बना दिया गया है।

$\psi _{1}(z)=\zeta (2,z).$

ध्यान दें कि अंतिम दो सूत्र तब मान्य होते हैं जब 1 − z एक प्राकृतिक संख्या नहीं होती है।

गणना

उपरोक्त दिए गए विकल्पों के विकल्प के रूप में दोहरा अभिन्न प्रतिनिधित्व, श्रृंखला प्रतिनिधित्व से प्राप्त किया जा सकता है:

$\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx$

किसी ज्यामितीय श्रृंखला के योग के लिए सूत्र का उपयोग करना। y गुणनफल पर एकीकरण:

$\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx$

लॉरेंट श्रृंखला के रूप में एक असममित विस्तार है

$\psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}$

यदि हमने B₁ = 1/2 चुना है, अर्थात दूसरे प्रकार की बर्नौली संख्या हैं।

पुनरावृत्ति एवं परावर्तन सूत्र

त्रिगामा फलन पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है

$\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}$

और परावर्तन सूत्र

$\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,$

जो संक्षिप्त रूप में z =1/2 $\psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}$ के लिए मान देता है।

विशेष मान

धनात्मक आधे पूर्णांक मानों पर हमारे पास वह है

$\psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.$

इसके अतिरिक्त, त्रिगामा फलन में निम्नलिखित विशेष मान हैं: