कुल भिन्नता

Not to be confused with संभाव्यता उपायों की कुल भिन्नता दूरी.

गणित में, कुल भिन्नता कई अलग-अलग अवधारणाओं की पहचान करती है, जो किसी कार्य (गणित) या एक माप (गणित) के कोडोमेन की (स्थानीय संपत्ति या वैश्विक) संरचना से संबंधित होती है। एक वास्तविक संख्या के लिए वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्य f, एक अंतराल (गणित) [a, b] ⊂ R पर परिभाषित, परिभाषा के अंतराल पर इसकी कुल भिन्नता एक उपाय है पैरामीट्रिक समीकरण x ↦ f(x), x ∈ [a, b] के साथ वक्र के एक-आयामी चाप की लम्बाई ऐसे कार्य जिनकी कुल भिन्नता परिमित है, परिमित भिन्नता कहलाती है।

ऐतिहासिक नोट

एक वास्तविक चर के कार्यों के लिए कुल भिन्नता की अवधारणा को पहली बार केमिली जॉर्डन द्वारा पेपर में प्रस्तुत किया गया था (Jordan 1881). उन्होंने असंतुलित कार्य आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला के लिए एक अभिसरण प्रमेय को सिद्ध करने के लिए नई अवधारणा का उपयोग किया, जिसकी भिन्नता परिबद्ध भिन्नता है। एक से अधिक चर के कार्यों के लिए अवधारणा का विस्तार चूँकि विभिन्न कारणों से सरल नहीं है।

परिभाषाएँ

एक वास्तविक चर के कार्यों के लिए कुल भिन्नता

Definition 1.1. वास्तविक संख्या-मूल्यवान (या अधिक सामान्यतः जटिल संख्या-मूल्यवान) कार्य (गणित) की कुल भिन्नता $f$, एक अंतराल पर परिभाषित (गणित) $[a,b]\subset \mathbb {R}$ मात्रा है

$V_{a}^{b}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,$

जहां एक अंतराल के सभी विभाजनों के सेट (गणित) पर अंतिम चलता है ${\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}$ दिए गए अंतराल (गणित) का है

जहां सर्वोच्च सभी विभाजनों के सेट पर चलता है ${\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}$ का विभाजन है।

n > 1 वास्तविक चर के कार्यों के लिए कुल भिन्नता

Definition 1.2. मान लीजिए Ω, Rⁿ का एक विवर्त उपसमुच्चय है L¹(Ω) से संबंधित एक कार्य f दिया गया है Ω में f की कुल विविधता को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},$

जहाँ

• $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ $\Omega$ में निहित कॉम्पैक्ट समर्थन के निरंतर भिन्न वेक्टर कार्यों का सेट है।
• $\Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}$ आवश्यक सुप्रीम नॉर्म (गणित) है, और
• $\operatorname {div}$ विचलन ऑपरेटर है।

इस परिभाषा के लिए यह आवश्यक नहीं है कि दिए गए कार्य का डोमेन $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ एक परिबद्ध सेट हो।

माप सिद्धांत में कुल भिन्नता

मौलिक कुल भिन्नता परिभाषा

अगले Saks (1937, p. 10), एक हस्ताक्षरित उपाय पर विचार करें $\mu$ एक सिग्मा-बीजगणित पर $(X,\Sigma )$: तब दो सेट कार्यों को परिभाषित करना संभव है ${\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )$ और ${\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )$, क्रमशः ऊपरी भिन्नता और निम्न भिन्नता कहा जाता है

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{W}}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},E)=sup\{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)\mid <!--\; \mid \; -->$