समुच्चय फलन

गणित में, विशेष रूप से मान सिद्धांत में, एक सेट फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका फलन का डोमेन कुछ दिए गए सेट के उपसमुच्चय के सेट का वर्ग होता है और जो (सामान्यत:) विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में इसके मान लेता है $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},$ जिसमें वास्तविक संख्याएँ होती हैं $\mathbb {R}$ और $\pm \infty .$ एक सेट फलन का सामान्यत: लक्ष्य होता है, उपसमुच्चय मान (गणित) सेट फलन को मानने के विशिष्ट उदाहरण हैं। इसलिए, शब्द सेट फलन का उपयोग अधिकांशत: मान के गणितीय अर्थ और इसके सामान्य भाषा अर्थ के बीच भ्रम से बचने के लिए किया जाता है।

परिभाषाएँ

यदि ${\mathcal {F}}$ सेट ओवर का वर्ग है $\Omega$ (मतलब है कि ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (\Omega )$ कहाँ $\wp (\Omega )$ पावरसेट को दर्शाता है) फिर एक सेट फलन ${\mathcal {F}}$ का कार्य है $\mu$ एक फलन के डोमेन के साथ ${\mathcal {F}}$ और कोडोमेन $[-\infty ,\infty ]$ या, कभी-कभी, कोडोमेन इसके अतिरिक्त कुछ सदिश समष्टि होता है, जैसा सदिश मानों, जटिल मान और प्रक्षेपण-मान मान के साथ होता है। सेट फलन के डोमेन में कोई संख्या गुण हो सकते हैं; सामान्यत: सामने आने वाली गुण और वर्गों की श्रेणियों को नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध किया गया है।

Families ${\mathcal {F}}$ of sets over $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
[[pi-system|π-system]]
Semiring										Never
[[Semialgebra|Semialgebra (Semifield)]]										Never
[[Monotone class|Monotone class]]						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
[[Dynkin system|𝜆-system (Dynkin System)]]				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
[[Ring of sets|Ring (Order theory)]]
[[Ring of sets|Ring (Measure theory)]]										Never
[[Delta-ring|δ-Ring]]										Never
[[Sigma-ring|𝜎-Ring]]